Типовые задачи

Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.

Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество.

Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, по которому каждому возможному значению x_i ставится в соответствие вероятность p_i, с которой случайная величина может принять это значение, причём .

Задача1. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины х, числа полученных пятёрок, если вероятность получения пятёрки по математике равна 0,8, а по физике – 0,6.

Решение. Обозначим А₁ и А₂ – события, заключающиеся в том, что и математика, и физика сданы на 5. Очевидно, возможные значения х есть 0, 1, 2, причём

Полученные результаты сведём в таблицу:

xi	0	1	2
pi	0.08	0.44	0.48

.

Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин

К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины х называется произведение всех её возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

- математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М(С)=С

- постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(Сх)=С*М(х)

- математическое ожидание суммы случайных величины равно сумме математических ожиданий слагаемых:

- математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(х₁*х₂*…*х_n)=М(х₁)*М(х₂)*…М(х_n)

Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(x)=M((x-M(x))²) или D(x)=M(x²) – (M(x))²

Среднеквадратическое отклонение:

Свойства дисперсии:

- дисперсия постоянной равно нулю:

D(С)=0

- постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(Сх)=С²*D(х)

- дисперсия суммы (разности) случайных величины равно сумме дисперсий слагаемых:

Свойства среднеквадратического отклонения:

-

-

Задача 1. Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти р(х<2), р(х>4), р(2≤х≤4), математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

xi	1	2	3	4	5
pi	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Решение. р(х<2)=0,1;

р(х>4)=0,1;

р(2≤х≤4)=0,2+0,4+0,2=0,8;

М(х)=1*0,1+2*0,2+3*0,4+4*0,2+5*0,1=3;

D(x)=1²*0,1+2²*0,2+3²*0,4+4²*0,2+5²*0,1-3²=1,2

σ(x)= =1,095

Задача 2. Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более 20-ти центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:

цена за 10 яиц	0,6	0,4	0,2	0	-0,2
Р	0,2	0,5	0,2	0,06	0,04

Как оценить ожидаемую прибыль от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 100000 яиц?

Решение.

х – случайная, прибыль от продажи 10 яиц.

М(х)=0,6*0,2+0,4*0,5+0,2*0,2+0*0,06-0,2*0,04=0,352

М(10000х)=10000*0,352=3520 $

D(x)=0.6²*0.2+0.4²*0.5+0.2²*0.2+0²*0.06+(-0.2)²*0.04-0.352²=0.037696

σ(x)= =0.194154578

D(10000x)=10000²* D(x)=19415457.76

σ(x)= =0.441

Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения

Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.

Непрерывной назовём случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого промежутка.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины х можно задавать либо функцией распределения F(x)=p(ξ<x), либо её производной f(x)= , называемой плотностью вероятности.

Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:

f(x)=F'(x),

а зная f(x), найдём функцию распределения:

Для непрерывной случайной величины х вероятность попадания её в промежуток с концами a и b равна:

.

Причём .

Задача 1. Задана следующая функция распределения:

Найти плотность распределения.

Решение.

Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:

f(x)=F'(x)=

Равномерное распределение. Случайная величина х называется равномерно распределённой на [a, b], если её плотность распределения f(x) на [a, b] постоянна, а вне [a, b] равна 0:

,

Задача 1. Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить вероятность того, что ждать придётся не более 10 минут.

Решение.

Задача 2. Задана плотность распределения:

Найти h.

Решение.

h-2=1  h=3

Нормальное распределение. Случайная величина х называется нормально распределённой, если её плотность распределения f(x) имеет вид:

,

где а и σ – параметры нормального распределения, σ >0.

В этом случае говорят, что х распределено нормально согласно закону N(a, σ).

Если а=0 и σ=1, то и эта функция обозначается через φ(х) и называется плотностью нормированного и центрированного нормального распределения. Функция распределения в этом случае обозначается через .

Значения Ф(х) затабулированы, .

Задача 1. Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см, σ=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 160-190 см?

Решение.

Правило трёх сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).

Задача 1. Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см, σ=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 145-205 см?

Решение.

Правило двух сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).

Правило одной сигмы. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:

.

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле:

.

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение.

Задача 1. Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить среднее время ожидания автобуса и дисперсию.

Решение.

.

Задачи для внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы: 6.1.-6.20..

Раздел № 4 Элементы теории оценок.

План и вопросы для изучения.. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Методы расчета сводных характеристик выборки. Эмпирические моменты. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Построение нормальной кривой по опытным данным.

Точечные и интервальные оценки. Доверительный интервал

Если в процессе эксперимента для статистики получено некоторое значение, то значит оно принадлежит области I_, вероятность которой близка к 1. Эту вероятность называют доверительной вероятностью. Её обозначают . По ней строят интервал, накрывающий значение оцениваемого параметра с вероятностью . Его и называют доверительным интервалом с уровнем доверия . Область I_ и доверительный интервал по ней строятся в соответствии с распределением вероятностей используемой статистики.

Величина уровня доверия влияет на величину интервала: чем больше уровень доверия, тем шире интервал. Уровень доверия выбирается из соображений допустимого риска.

Формула для доверительного интервала для математического ожидания  нормального распределения с уровнем доверия  для случая, когда известно среднеквадратическое отклонение распределения :

(1)

Формула для доверительного интервала для математического ожидания  нормального распределения с уровнем доверия  для случая, когда среднеквадратическое отклонение распределения  неизвестно:

(2)

Задача 1. Для проверки фасовочной установки были отобраны и взвешены 20 упаковок. Получены следующие результаты (в граммах):

246	247	247,3	247,4	251,7	252,5	252,6	252,8	252,8	252,9
253	253,6	254,6	254,7	254,8	256,1	256,3	256,8	257,4	259,2

Найти доверительный интервал для математического ожидания с надёжностью 0,95, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально.

Решение.

Находим точечные оценки a и :

Определяем по таблице распределения Стьюдента для доверительной вероятности =0,95 и числу степеней свободы (n-1)=19 соответствующее значение t_=2,093 и по формуле находим искомый интервал:

или 251,27 а 254,69.

Задача 2. Разыграть 8 значений дискретной случайной величины, заданной законом распределения:

Х 3 11 24

р 0,25 0,16 0,59

Решение.

1). Разобьем интервал (0,1) оси Or точками с координатами: 0,25; 0,25+0,16 = 0,41; на 3 частичных интервала: d₁ – (0; 0,25), d₂ – (0,25; 0,41), d₃ – (0,41; 1).

2). Выпишем из таблицы 8 случайных чисел, например: 0,10; 0,37; 0,08; 0,99; 0,12; 0,66; 0,31; 0,85.

Случайное число r₁ = 0,10 принадлежит частичному интервалу d₁, поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина приняла значение х₁ = 3. Аналогично получим остальные возможные значения.

Задачи для внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы: 8.1.-8.20..