Решение уравнения регрессии с использованием линейной модели

Далее рассмотрено решение задачи нелинейной оптимизации с помощью средства поиска решения на примере построения линейного уравнения регрессии.

Постановка задачи, построение моделей и решение. Имеются две наблюдаемые величины x и y, например, объем реализации фирмы, торгующей подержанными автомобилями, за шесть недель ее работы. Значения этих наблюдаемых величин x=(1,2,3,4,5,6); y=(7,9,12,13,14,17), где x – отчетная неделя, а y – объем реализации за эту неделю, поместите в ячейки (A2:A7) и (B2:B7) соответственно. Столбец С выделите под теоретические значения y. Необходимо построить линейную модель y=mx + b, наилучшим образом описывающую наблюдаемые значения. Обычно коэффициенты m и b подбираются так, чтобы минимизировать сумму квадратов разностей между наблюдаемыми и теоретическими значениями зависимой переменной y, т.е. минимизировать

где n - число наблюдений (в данном случае n = 6).

Для решения задачи отведите под переменные m и b ячейки D3 и E3, соответственно, а в ячейку F3 введите минимизируемую функцию =СУММКВРАЗН(B2:B7;E3+D3*A2:A7), которая вычисляет сумму квадратов разностей для элементов указанных массивов.

Выберите команду Сервис-> Поиск решения и заполните открывшееся диалоговое окно Поиск решения следующим образом: в целевую ячейку внесите $F$3; задача - на минимум; изменять ячейки - $D$3:$E$3; ограничений нет. Результатом должны стать m = 1,88571; b = 5,400; целевая функция равна 1,77143.

Коэффициенты m, b можно найти и другим способом. Постройте точечный график по диапазону ячеек A2:B7 Назовите график - «Динамика продажи», ось Х – «Недели», ось Y – «Машины, шт». Выделите точки графика двойным щелчком, а затем щелкните их правой кнопкой мыши. В контекстном меню выберите команду Линии тренда, в диалоговом окне Линии тренда на вкладке Тип в группе Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание) выберите параметр Линейная, а на вкладке Параметры установите флажки Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2), т.е. на диаграмму нужно поместить значение квадрата коэффициента корреляции. По коэффициенту корреляции можно судить о правомерности использования линейного уравнения регрессии. Если он лежит в диапазоне от 0,9 до 1, то данную зависимость можно использовать для предсказания результата. Чем ближе к единице коэффициент корреляции, тем более обоснованно это указывает на линейную зависимость между наблюдаемыми величинами. Если коэффициент корреляции близок к -1, то это указывает на обратную зависимость между наблюдаемыми величинами. Флажок Пересечение кривой с осью Y в точке устанавливается только в случае , если эта точка известна. В результате выполнения команды Линии тренда появится график линии тренда, по которому видно, что квадрат коэффициента корреляции равен 0,9723. Следовательно, линейная модель может быть использована для предсказания результатов. На основе найденных коэффициентов уравнения регрессии можно определить теоретические значения наблюдаемой величины y. Введите в ячейку C2 формулу =$D$3*A2+$E$3. Протяните C2 до C7, получите значения, соответственно (7,9,11,13,15,17). Те же значения можно получить и без предварительного определения коэффициентов линейной модели, например, теоретическое значение в ячейке C2 можно определить по формуле =ПРЕДСКАЗ(A2;$B$2:$B$7;$A$2:$A$7).