Задача решения системы нелинейных уравнений
Кроме оптимизационных задач, средство поиска решений позволяет находить решения систем нелинейных уравнений. Далее процесс решения рассмотрен на примере следующей системы уравнений
X2 + Y2 = 3
2*X + 3*Y = 1.
Решением данной системы является пара (x,y), при которой (x2 + y2 – 3y)2 + (2x + 3y -1)2 = 0. Данное уравнение будет решаться с помощью средства поиска решения. Проанализировав его, следует отметить, что решением являются не более двух точек пересечения окружности с радиусом, равным трем, и прямой. Определяемое решение зависит от начального приближения, удачный подбор которого очень важен. Локализовать корни можно, например, протабулировав левую часть уравнения по переменным x,y на отрезке от минус трёх до трёх с шагом 1.5.
Введите в A2:A6 и B1:F1 значения x и y, соответственно. В ячейку B2 введите формулу: =($A2^2+b$1^2-3)^2+(2*$A2+3*B$1-1)^2. Протащите формулу на диапазон B2:F6. Из полученных данных видно, что за начальное приближение к корню разумно выбрать пары значений: (-1.5;1.5), (1.5;0), (1.5;-1.5).
Для нахождения первого корня отведите под переменные x и y ячейки A10 и B10, соответственно и введите в них начальные приближения –1.5 и. 1.5. В ячейку C10 введите формулу =(A10^2+B10^2-3)^2+(2*A10+3*B10-1)^2, Вызовите команду Сервис-> Поиск решения и заполните диалоговое окно Поиск решения: в поле Установить целевую ячейку введите C10; в поле Изменяя ячейки - A10:B10; в группе Равной - переключатель в положение Значению, а в поле ввода введите 0; в диалоговом окне Параметры поиска решения снимите флажок Линейная модель. Нажмите на кнопку Выполнить. В ячейках A10:B10 появятся значения –1.268 и 1.179, в ячейке C10 - значение 8.89Е-09.
Найдите второе решение, используя начальное приближение (1.5;-1.5). Решением должны быть значения 1.576 и –0.717. Убедитесь, что начальное приближение (1.5;0) приводит к тому же результату.
Задача о назначениях
Постановка задачи рассмотрена на типичном примере решения задачи о назначениях. Четверо рабочих могут выполнять четыре вида работ. Стоимости cij выполнения i–ым рабочим j- ой работы занесите в ячейки диапазона A1:D4, как показано на рисунке 1.
-
1
4
6
3
9
10
7
9
4
5
11
7
8
7
8
5
Рисунок 1 – Стоимости выполнения работ
В таблице на рисунке 1 строки соответствуют рабочим, а столбцы – работам. Нужно составить план выполнения работ так, чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был загружен только одной работой, а суммарная стоимость выполнения всех работ была минимальной.
Поскольку число работ в данной задаче равно числу рабочих, модель сбалансирована. В противном случае перед началом решения в нее вводят недостающее число фиктивных строк или столбцов с достаточно большими щтрафными стоимостями работ.
Следует построить математическую модель задачи. Пусть переменная xij = 1, если i – ым рабочим выполнена j – ая работа, в остальных случаях она равна 0. Тогда модель имеет вид
П
ри
ограничениях:
Для решения этой задачи отведите под неизвестные диапазон ячеек F2:I5. В ячейку J1 введите целевую функцию: =СУММПРОИЗВ(F2:I5;A1:D4), вычисляющую стоимость работ. В ячейки J2:J5 и F6:I6 введите формулы, задающие левые части ограничений.
Выберите команду Сервис-> Поиск решения и заполните диалоговое окно Поиск решения: В качестве целевой ячейки введите $J$1, диапазон изменяемых ячеек – $F$2:$I$5, ограничения - $F$2:$I$5<=1,. $F$2:$I$5 = целое, $F$2:$I$5 >=0, $J$2:$J$5 =1. После нажатия кнопки Выполнить средство поиска решений находит оптимальное решение (стоимость работ = 18) и оптимальный план работ
-
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
Замечание – флажок Формулы ДО Параметры (Сервис-> Параметры) обеспечивает отображение формул в ячейках, где они есть.