2 Задача определения состава сплавов

Постановка задачи 2. Для получения сплавов А и В используются металлы М1, М2, М3, М4, требования к содержанию которых в сплавах А и В следующие: сплав А должен содержать не более 80 % металла М1 и не более 30 % металла М2; сплав В должен содержать от 40 до 60 % М2, не менее 30 % М3 и не более 70 % М4. Характеристики и запасы руд для производства металлов представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Характеристики и запасы руд

Руда	Max запас, т	Состав, %					Цена, $/т
		М1	М2	М3	М4	Прочие
1	1000	20	10	30	30	10	30
2	2000	10	20	30	30	10	40
3	3000	5	5	70	20	0	50

Пусть цена 1 т сплава А равна 200 долларов, а 1 т сплава В – 210.

Необходимо максимизировать прибыль от продажи сплавов А и В.

Формализация задачи и построение математической модели её решения. Если обозначить через x_1A , x_2A, x_3A, x_4A и x_1B, x_2B, x_3B, x_4B соответствующие количества металлов для получения сплавов, а количество использованной i – ой руды - через y_i, где i изменяется от 1 до 3, то математическая модель задачи будет иметь следующий вид.

Максимизировать

Z = 200 (x_1A + x_2A + x_3A + x_4A) + 210 (x_1B + x_2B + x_3B + x_4B) - 30y₁ - 40 y₂ - 50y₃

при следующих ограничениях на состав сплавов

x_1A £ 0.8 (x_1A + x_2A + x_3A + x_4A),

x_2A £ 0.3 (x_1A + x_2A + x_3A + x_4A),

x_2B £ 0.6 (x_1B + x_2B + x_3B + x_4B),

x_2B ³ 0.4 (x_1B + x_2B + x_3B + x_4B),

x_3B ³ 0.3 (x_1B + x_2B + x_3B + x_4B),

x_4B £ 0.7 (x_1B + x_2B + x_3B + x_4B),

на характеристики и состав руды:

x_1A + x_1B £ 0.2 y₁ + 0.1 y₂ + 0.05 y₃,

x_2A + x_2B £ 0.1 y₁ + 0.2 y₂ + 0.05 y₃,

x_3A + x_3B £ 0.3 y₁ + 0.3 y₂ + 0.7 y₃,

x_4A + x_4B £ 0.3 y₁ + 0.3 y₂ + 0.2 y₃,

а также на диапазоны использования переменных

x_iA ³ 0, x_iB ³ 0, i Î [1,4],

0 £ y₁ £ 1000,

0 £ y₂ £ 2000,

0 £ y₃ £ 3000.

Технология решения задачи с применением математической и программной моделей в среде Microsoft Excel.

• Отведите под переменные x_iA , x_iB , i Î [1,4] диапазон ячеек С3:D6, а под переменные y_i , i Î [1,3] – F3:F5.

• В ячейку G9 введите выражение для целевой функции:

= 200*СУММ(C3:C6)+210*СУММ(D3:D6)–30*F3-40*F4-50*F5.

• В диапазон C8:C17 введите левые части ограничений:

= C3 – 0.8 * СУММ (C3 : C6)

= C4 – 0.3 * СУММ (C3 : C6)

= D4 – 0.6 * СУММ (D3 : D6)

= 0.4 * СУММ (D3 : D6) – D4

= 0.3 * СУММ (D3 : D6) – D5

= D6 – 0.7 * СУММ (D3 : D6)

= СУММ (C3 : D3) – 0.2 * $F$3 – 0.1 * $F$4 – 0.05 * $F$5

= СУММ (C4 : D4) – 0.1 * $F$3 – 0.2 * $F$4 – 0.05 * $F$5

= СУММ (C5 : D5) – 0.3 * $F$3 – 0.3 * $F$4 – 0.7 * $F$5

= СУММ (C6 : D6) – 0.3 * $F$3 – 0.3 * $F$4 – 0.2 * $F$5.

• В диапазон ячеек H3:H5 введите количество имеющихся запасов руд. Выберите команду Сервис-> Поиск решения и заполните открывшееся диалоговое окно Поиск решения. Значением целевой функции будет число 896250 (для сплава А потребуется 550,0,2025,1500, для сплава В – 0,650,975,0 металлов).