2

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра электронных вычислительных машин

С.Д. Блинова

Комплекс лабораторных работ

Методические указания

по выполнению лабораторных работ

Дисциплина

«Моделирование»

Специальность 230101

«Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»

Киров,2009

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Вятского государственного университета

УДК 004.92(07)

Б

Рецензент: доктор технических наук, профессор кафедры РЭС А.В. Частиков

Блинова С,Д, Комплекс лабораторных работ. Методические указания по выполнению лабораторных работ/ С.Д. Блинова. – Киров: Изд-во ВятГУ, 2009. – 19 с.

Редактор Е.Г. Козвонина

Подписано в печать Усл.печ.л. 1,13

Бумага офсетная Печать копир Aficio 1022

Заказ №441 Тираж 27 Бесплатно

Текст напечатан с оригинал-макета, представленного автором.

610000, г.Киров, ул. Московская, 36.

Оформление обложки, изготовление – ПРИП ВятГУ

С.Д. Блинова, 2009

Вятский государственный университет, 2009

Содержание

1. Лабораторная работа №1. Формализация и алгоритмизация задач нахождения корней уравнений

2. Лабораторная работа №2. Составление и использование математических моделей для решения линейных оптимизационных задач

3. Лабораторная работа №3. Построение моделей и решение нелинейных задач

Лабораторные работы проводятся в среде Microsoft Excel, которая по сути является информационной моделью «поведения» субъекта моделирования (пользователя) в процессе познания (обучения) или практической деятельности. В ходе выполнения работ используются и другие информационные модели: математические, алгоритмические, программные.

Лабораторная работа №1

Формализация и алгоритмизация задач нахождения корней уравнений

Цель работы:

• научиться формализации задач при моделировании;

• научиться строить и использовать математические и алгоритмические модели для решения математических задач;

• освоить приемы работы с электронными таблицами.

Задание на лабораторную работу:

Найти корни исходных уравнений, используя заданные математические и программные модели для решения и среду Microsoft Excel.

Лабораторная работа состоит из трех частей, в каждой задача нахождения корней решается своим методом.

Задача №1. Нахождение корней уравнения F(x)=0 методом деления отрезка пополам

Постановка задачи: найти аналитически и графически корень уравнения х² - 2 = 0 с точностью 10^-4 , используя метод деления отрезка пополам.

Этапы решения задачи:

• анализ задачи с обязательным указанием объекта, субъекта, цели моделирования и выделением существенных свойств моделируемого объекта;

• формализация задачи и составление алгоритмической модели согласно заданному методу решения задачи;

• реализация модели, получение и анализ результатов решения задачи.

Первый этап решения предполагает системный анализ задачи, ее входных и выходных данных. Исходными данными для решения являются математическая модель в виде заданного уравнения, точность вычислений (E) и метод решения задачи. Метод деления отрезка пополам применяется, когда функция F(x) непрерывна и имеет значения разных знаков на концах диапазона [a,b] изменения аргумента x, т.е. F(a)*F(b)<=0. В таких случаях корень уравнения находится внутри отрезка [a,b], называемого отрезком локализации корня. Именно таким условиям отвечает решаемая задача. Значения отрезка локализации – вещественные числа, подстановка которых в исходное уравнение дает приближенные решения. Результатом являются вещественные числа - решение исходного уравнения с заданной точностью. Объектом моделирования является математическая модель – уравнение, субъектом – тот, кто его решает, цель моделирования – решение уравнения (нахождение всех его корней). Поскольку объект моделирования – модель, то в ней уже учтены все существенные свойства её объекта моделирования. Для правильного использования модели необходимо следовать требованиям по заданию области определения аргумента в уравнении.

На втором этапе составляется алгоритм решения задачи (алгоритмическая модель решения) по заданному методу деления отрезка пополам. Формализация задачи для получения алгоритмической модели выглядит следующим образом. Пусть с-корень уравнения F(x)=0. За исходное значение корня принимается число: c=(a+b)/2 , которое далее уточняется, достигая заданной точности вычислений. Если F(a)*F(b)<=0, то новым отрезком локализации становится отрезок [a,b], иначе - отрезок [с,b]. Процесс деления отрезка продолжается до тех пор, пока его длина станет меньше заданной точности. В этом случае любая точка отрезка будет отличаться от корня не более, чем на половину E. Далее следует построить схему алгоритма решения задачи.

Третий этап реализации модели определяется средой, в которой будет решаться задача. Технология решения задачи в среде Microsoft Excel:

• за начальный отрезок локализации выбирается [0,2];

• исходные данные вводятся в следующие ячейки таблицы: D7->Точность;

E7->0,0001; D8->a; D9->0; E8->b; E9->2; G8->F(a)*F(c); F8->C; H8->F(c);

• алгоритм реализации метода вводится в ячейки: D10-> =ЕСЛИ(G9<=0;D9;F9); E10-> =ЕСЛИ(G9<=0;F9;E9); F9-> =(D9+E9)/2; G9-> =(D9^2-2)*(F9^2-2); H9-> =F9^2-2; I10-> =ЕСЛИ(E9-D9<$E$7;”Корень ”& ТЕКСТ (F9;”0,0000”); “Нет”).

• ячейки с формулами протаскиваются вниз по столбцам, пока не будет найден корень 1.414.

• самостоятельно, используя возможности среды Microsoft Excel, необходимо построить графическую модель решения задачи.

Аналогичным образом следует аналитически и графически найти второй корень заданного уравнения.

Задача №2. Пошаговое решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса

З адание: методом Гаусса найти корни СЛУ 2х₁ +3х ₂ +7х ₃ +6х₄ =1 3х₁ +5х ₂ +3х ₃ +1х₄ =3

5х₁ +3х ₂ +1х ₃ +3х₄ =4

3х₁ +3х ₂ +1х ₃ +6х₄ =5

Формализация задачи согласно методу ее решения и последовательность действий (алгоритмическая модель) по достижению результатов решения задачи:

• Введите исходные данные в диапазоны ячеек: А33:D36 – матрицу коэффициентов при неизвестных; E33:E36 – столбец свободных членов.

• Содержимое ячеек А33:Е33 скопируйте в ячейки А38:Е38, А43:Е43 и А48:Е48. В диапазон ячеек А39:Е39 введите формулу: {=A34:E34-$A$33:$E$33*(A34/$A$33)}, обращающую в нуль коэффициент при х₁ во втором уравнении системы. Не забывайте нажимать клавиши <Ctrl>+<Shift>+<Enter> для работы с массивом ячеек.

• Выделите А39:Е39 и заполните диапазон А39:Е41, что обратит в нуль коэффициент при х₁ в третьем и четвертом уравнениях системы.

• Скопируйте значения из А39:Е39 в А44:Е44 и А49:Е49. Для этого используйте команду Правка->Специальная вставка, где в диалоге в группе Вставить установите переключатель Значения.

• В ячейки А45:Е45 введите формулу: {=A40:E40-$A$39:$E$39*(В40/$В$39)}. Выделите диапазон А45:Е45 и протащите маркер заполнения, заполнив ячейки А45:Е46. Это обратит в нуль коэффициент при х₂ в третьем и четвертом уравнениях системы.

• Скопируйте значения из А45:Е45 в А50:Е50. В А51:Е51 введите формулу: {=A46:E46-$A$45:$E$45*(С46/$С$45)}, обращающую в нуль коэффициент при х₃ из четвертого уравнения системы. На этом прямая прогонка метода Гаусса завершена.

• Обратная прогонка заключается в вводе в диапазоны ячеек G36:K36, G35:K35, G34:K34 и G33:K33 следующих формул: {=A51:E51/D51}; {=(A50:E50-G36:K36*D50)/C50}; {=(A49:E49-G36:K36*D49-G35:K35*C49)/B49}; {=(A48:E48-G36:K36*D48-G35:K35*C48-G34:K34*B48)/A48}, соответственно. Решение СЛУ будет получено в ячейках К33:К36.

Проверьте найденные значения корней подстановкой их в уравнения системы.

Самостоятельно решите СЛУ по предложенному преподавателем варианту.

Задача №3. Нахождение корней уравнения F(x)=0 с помощью модели Подбор параметров

Постановка задачи: найти аналитически и графически все корни уравнения х³ - 0,01х² - 0,7044х + 0,139104 = 0.

Этапы решения задачи с помощью программной модели Подбор параметров.

Первый этап – это анализ задачи. Поскольку уравнение задачи имеет третью степень, всех корней в уравнении может быть не более трех вещественных. Для их нахождения методом подбора нужна предварительная локализация. Протабулируйте исходный полином на отрезке [-1;1] с шагом 0,2. Для этого в ячейку А1 введите X, в В1 – Y, в диапазон А2:А12 – значения x, в В2 – формулу: =А2^3-0.01*А2^2-0.7044*F2+0.139104. Заполните диапазон В2:В12 значениями y. Просмотрев полученные значения, можно сделать вывод о смене полиномом знака на интервалах изменения аргумента: [-1;-0.8], [0,2;0,4] и [0,6;0,8]. Это означает наличие на каждом из них корня. Так как интервала три и корней может быть не более трех, то локализованы все корни.

Второй этап – это инициализация модели. Для решения задачи будет использована программа Подбор параметров, реализованная в среде Microsoft Excel как надстройка. Необходимо инициализировать программу, для чего задайте относительную погрешность вычислений (0,00001) и предельное число итераций (1000) на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры команды Сервис->Параметры. В качестве начальных значений приближений к корням возьмите, например средние точки из отрезков локализации корней: -0,9; 0,3: 0,7. Введите их в ячейки С2:С4. В ячейку D2 введите формулу: =C2^3-0.01*C2^2-0.7044*C2+0.139104. Выделите эту ячейку и заполните диапазон D2:D4, получив значения полинома при начальных значениях приближений.

Третий этап – это получение результатов решения задачи по программной модели. Выберите команду Сервис->Подбор параметров и заполните диалоговое окно программы Подбор параметров следующим образом: Установить в ячейке – (щелчок на D2) - значение 0, изменяя значение ячейки – (щелчок на С2). После нажатия на OK программа Подбор параметров находит приближенное значение корня (0,919999) и помещает его в С2. Аналогично вычислите и поместите в ячейки С3 и С4 два оставшихся корня. Они должны быть равны 0,20999 и 0,71999, соответственно.

Далее следует самостоятельно построить графическую модель решения задачи и проверить её аналитическое решение. Также самостоятельно решите задачу нахождения корней согласно заданному варианту и постройте график заданной функции.

Отчет по лабораторной работе должен содержать описание всех этапов решения трех задач согласно заданным вариантам по требованиям стандартов на оформление технической документации.

Вопросы для самоконтроля:

• Что такое математическая модель? Как она получается, для чего используется?

• Что такое формализация задачи, для чего она необходима?

• Чем отличаются алгоритмические и программные модели решения задач?

• Перечислите объекты моделирования при решении задач лабораторной работы и используемые для них модели.

Лабораторная работа №2

Составление и использование математических моделей для решения линейных оптимизационных задач

В данной работе моделируется процесс решения линейных оптимизационных задач на примере трех типичных ситуаций: планирование производства, составление сплавов и смесей и планирование штатного расписания. При моделировании используется табличная форма представления исходных данных и полученных результатов.