3.3. Условный экстремум при ограничениях типа неравенств

В этом случае утверждения, 3.1.1  3.1.4 принимают следующую редакцию, соответственно:

3.3.1. Пусть X^*R^п  точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М={X|_i(X)0, i=1, 2, …, m}. Тогда существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю и такие, что выполняются условия:

условия стационарности обобщённой функции Лагранжа по X:

=0, j=1, 2, …, n; (3.3.1.a)

условие допустимости решения:

_i(X^*)0, i=1, 2, …, n; (3.3.1.б)

условие неотрицательности для условного минимума:

0, i=1, 2, …, n; (3.3.1.в)

(условие неположительности для условного максимума 0, i=1, 2, …, n)

условие дополняющей нежёсткости:

_i(X^*)=0, i=1, 2, …, n; (3.3.1.г)

Если при этом градиенты ₁(X^*), ₂(X^*), …, _m(X^*) в точке X^* линейно независимы, то ≠0 (условие регулярности).

3.3.2. Пусть X^*R^п  регулярная точка локального минимума (максимума) функции f(X) на множестве М и имеется решение (X^*, ^*) системы (3.3.1). Тогда второй дифференциал классической функции Лагранжа, вычисленный в точке (X^*, ^*), неотрицателен (неположителен):

d²L(X^*, ^*)0 (d²L(X^*, ^*)0)

для всех таких dxR^п, что

(3.3.2)

3.3.3. Пусть (X^*, ^*)  точка, удовлетворяющая системе (3.3.1) при ≠0, число активных ограничений X^* совпадает с числом n переменных. Если >0 для всех iI_a, то точка X^*  точка условного локального минимума. Если <0 для всех iI_a, то X^*  точка условного локального максимума.

3.3.4. Пусть (X^*, ^*)  точка, которая является решением системы (3.3.1) при ≠0. Если в этой точке дифференциал классической функции Лагранжа, положителен (отрицателен)

d²L(X^*, ^*)>0 (d²L(X^*, ^*)<0)

для всех таких dxR^п, что

d_i(X^*)=0, iI_a, >0 ( <0);

d_i(X^*)0, iI_a, =0,

то точка X^* является точкой локального минимума (максимума) задачи.

Напомним, что I_a  множество индексов ограничений, активных в точке X^*, причём ограничение _i(X)0 называется активным в точке X^*, если _i(X^*)=0 (в противном случае оно называется пассивным).

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум, достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, ₀, )=₀f(X)+

2. Составить систему:

(3.3.1)

3. Решить систему (3.3.1) для двух случаев:

а) ₀=0;

б) ₀=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X^*.

4. Для условно стационарных точек X^*, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого:

1) определить число l активных в точке X^* ограничений;

2) если l=n и >0 для всех iI_a, то в точке X^*  локальный минимум. Если l=n и <0 для всех iI_a, то в точке X^*  локальный максимум. Если l<n или соответствующие множители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первого порядка, то проверить достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке (X^*, ^*):

d²L(X^*, ^*)= ;

2) записать условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений:

(3.3.2)

3) исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяемых системе (3.3.2). Если d²L(X^*, ^*)>0, то в точке X^*  условный локальный минимум. Если d²L(X^*, ^*)<0, то в точке X^*  условный локальный максимум.

Если достаточные условия первого и второго порядка не выполняются, то проверяется выполнение необходимых условий второго порядка. Если они не выполняются, то в точке X^* нет условного экстремума, а если выполняются, то требуется дополнительное исследование.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Пример I. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x₁x₂extr

.

Решение. Следуем вышеприведённой схеме. Имеем

₁(Х)=(Х)=

1. Составим функцию Лагранжа:

L(X, ₀, )=₀(x₁x₂)+₁( ).

2. Составим систему (3.3.1). Имеем =₀x₂+2₁x₁, =₀x₁+2₁x₂. Поэтому

3. a) ₀=0. Так как ₁≠0, то x₁=0 и x₂=0, и , то есть условно-стационарных точек при ₀=0 нет.

б) ₀=1. Система принимает вид

Пусть ₁≠0. Тогда из первых двух и последнего уравнения системы получаем четыре условно-стационарные точки ( )=(2, 2, ), ( )=(2, 2, ), (X₃, ₃)=(2, 2, ), (X₄, ₄)=(2, 2, ) (см. решение Примера II из 3.2).

Если ₁=0, то ( )=(0, 0, 0)  пятая условно-стационарная точка.

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных условно-стационарных точках X^*{X₁, X₂, X₃, X₄, X₅}.

Пусть X^*=X₁=(2, 2). В этой точке ограничение активно: ₁(Х^*)=₁(Х₁)= Но число l=1 активных ограничений меньше числа n=2 переменных: l<n. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) Запишем выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа. Имеем

= =2₁, = =1.

Поэтому d²L=2₁d +2dx₁dx₂+2₁d , и

d²L(X^*, ^*)=2₁d +2dx₁dx₂+2₁d =2 d +2dx₁dx₂+2 d =

=d +2dx₁dx₂d =(dx₁dx₂)².

2) Запишем условие, накладываемое на первый дифференциал активного ограничения: d₁(X)=2x₁dx₁+2x₂dx₂, d₁(X^*)=d₁(X₁)=4dx₁+4dx₂=0.

3) Исследуем знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяющих равенству предыдущего пункта 2). Имеем 4dx₁+4dx₂=0  dx₂=dx₁, и d²L(X₁, ₁)=(dx₁dx₂)²=4d , то есть d²L(X₁, ₁)=4d <0. Поэтому X₁  точка условного регулярного максимума.

Пусть X^*=X₂=(2, 2). В этой точке снова ограничение активно, и l<n  достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка:

1) Так как ₁=₂, то d²L(X^*, ^*)=(dx₁dx₂)².

2) Так как d₁(X)=2x₁dx₁+2x₂dx₂, то d₁(X*)=d₁(X₂)=4dx₁4dx₂=0.

3) Имеем 4dx₁4dx₂=0  dx₂=dx₁, и снова d²L(X₁, ₁)=4d <0, и X₂  точка условного регулярного максимума.

Пусть X^*=X₃=(2, 2). В этой точке снова достаточные условия первого порядка не выполняются (почему?). Проверим достаточные условия второго порядка:

1) Так как d²L=2₁d +2dx₁dx₂+2₁d , то

d²L(X₃, ₃)=d +2dx₁dx₂+d =(dx₁+dx₂)².

2) Из d₁(X)=2x₁dx₁+2x₂dx₂ получаем d₁(X*)=d₁(X₂)=4dx₁+4dx₂=0.

3) 4dx₁+4dx₂=0  dx₂=dx₁, и d²L(X₁, ₁)=0, и достаточные условия второго порядка не выполняются.

Необходимые условия второго порядка выполняются. Так что требуется дополнительное исследование. Но нами оно уже проведено  см. решение Примера II из 3.2). Следовательно, точка X₃  точка условного минимума.

Случай X^*=X₄ рассматривается аналогично случаю X^*=X₃, и оставляется читателю для самостоятельного рассмотрения.

В точке =(0, 0) ограничение не является активным, так как ( )=8<0. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. Но в достаточных условиях второго порядка обязательно наличие активного ограничения. А его в точке (0, 0) у задачи нет. Следовательно, достаточные условия второго порядка не выполнены. По этой же причине не выполняются и необходимые условия второго порядка. Таким образом, =(0, 0) не является точкой условного экстремума.

5. Вычислим значение функции в точках условного экстремума:

f_max=f(X₁)=f(X₂)=(2)(2)=4, f_min=f(X₃)=f(X₄)=(2)( 2)=4.

Ответ: X₁=(2, 2) и X₂=(2, 2)  точки регулярного условного локального максимума, f_max=4; X₃=(2, 2) и X₂=(2, 2)  точки регулярного условного локального минимума, f_min=4.

Пример II. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=x₁+x₂extr

.

Решение. Действуем по схеме. В нашем случае

₁(Х)=(Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, ₀, )=₀(x₁+x₂)+₁( ).

2. Составим систему (3.3.1). Имеем =₀+2₁x₁, =₀+2₁x₂. Поэтому

(3.3.3)

3. Решаем систему для двух случаев:

а) ₀=0.

Имеем ₁≠0, так как по 3.3.1 в точке условного экстремума X* не все ₀ и ₁ равны нулю. Тогда x₁=0 и x₂=0. Так как ₁≠0, то из последнего уравнения получаем =0, которому не удовлетворяет X*=(0, 0). Значит, условно-стационарных точек при ₀=0 нет.

б) ₀=1. Тогда

(3.3.3) 

Из первых двух уравнений системы следует ₁≠0 и тогда из последнего уравнения получаем =0. Как мы видели при решении примера I из 3.2, ( )=(2, 2, ), ( )=(2, 2, )  две условно-стационарные точки.

4. Для условно стационарных точек X^*, полученных при ₀=1, проверим достаточные условия экстремума. Для обеих точек ограничение является активным (а именно, выполнено условие ), при этом число ограничений l=1<n=2. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) Запишем выражение для второго дифференциала классической функции Лагранже в точках ( ) и ( ). Имеем

= =2₁, = =0.

Поэтому d²L=2₁d +2₁d .

2) Запишем условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений: d=2x₁dx₁+2x₂dx₂=0, откуда dx₂=dx₁ и d²L=4₁d . Тогда

d²L( )=d <0 при ₁= <0 и

d²L( )=d >0 при ₁= >0.

Получаем, что d²L( )<0 для всех ненулевых dxR² таких, что d( )=0, = <0, и d²L( )>0 для всех ненулевых dxR² таких, что d( )=0, = >0. Поэтому  точка регулярного условного максимума,  точка регулярного условного минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

f_max=f( )=2+2=4, f_min=f( )=22=4.

Ответ: =(2, 2)  точка регулярного условного максимума, f_max=4, =(2, 2)  точка регулярного условного локального, f_min=4.

Пример III. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=(x₁4)²+ extr

Решение. В нашем случае ₁(Х)= и ₂(Х)= .

Действуем по общей схеме:

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(X, ₀, )=₀((x₁4)²+ )+₁( )+₂( ).

2. =2₀(x₁4)+2₁(x₁+4)+2₂x₁, =2₀x₂+2₁x₂+2₂x₂.

 (3.3.4)

3. а) ₀=0. Тогда ₁≠0 или ₂≠0, и,

(3.3.4)  (3.3.5)

В частности, . Случай невозможен, так как в противном случае в силу и (либо и ) имеем (₁ и ₂ не могут иметь разные знаки). Поэтому и .

Если , то , откуда и или . Второе невозможно, так как в противном случае , что противоречит четвёртому соотношению системы (3.3.5). Значит, , подставляя которое в первое уравнение системы (3.3.5), получаем , то есть , откуда , что противоречит тому, что и .

Если , то , откуда . невозможно, так как в противном случае , что противоречит третьему соотношению системы (3.3.5). Значит, , подставляя которое в первое уравнение системы (3.3.5), получаем , откуда  противоречие. Таким образом, .

б) ₀=1. Тогда

(3.3.4)  (3.3.6)

в частности, .

Случай 1. . Из первого уравнения получаем

 ,

откуда и , и с имеют разные знаки, что невозможно.

Случай 2. .

Случай 2.1. . Тогда из первого уравнения получаем , то есть . Это противоречит третьему соотношению системы (3.3.6).

Случай 2.2. . Тогда и , откуда . Как мы уже видели, . Значит, . Теперь первое уравнение системы (3.3.6) даёт , откуда . Таким образом, ( )=(4, 0; 0, 2)  условно-стационарная точка.

Случай 2.3. . Тогда и, как мы уже видели, , подставляя которое в первое уравнение, получаем , откуда . Таким образом, ( )=(1, 0; , 0)  вторая условно-стационарная точка.

Случай 2.4. . Тогда  в силу , и получаем противоречие.

Таким образом, получили две условно-стационарные точки:

( )=(4, 0; 0, 2), ( )=(1, 0; , 0).

4. В точке X₁ первое ограничение не является активным, а в точке X₂  второе. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполнены. Проверим достаточные условия второго порядка.

1) Имеем = =1+₁+₂, = =0.

d²L=(1+₁+₂)d +(1+₁+₂)d =(1+₁+₂)(d +d ).

2) d₁(X)=2(x₁+4)dx₁+2x₂dx₂, d₂(X)=2x₁dx₁+2x₂dx₂.

3)   

В любом случае dx₁=0. Тогда

d²L( )=(d +d )=d <0 (при этом ₁=00, ₂=20) ,

d²L( )=(1+ )(d +d )= d >0 (при этом ₁= >0, ₂=00).

Следовательно, X₁=(4, 0)  точка регулярного условного максимума, а X₂=(1, 0)  точка регулярного условного минимума.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

f_max=f( )=(44)²+0²=64, f_min=f( )=(14)²+0²=25.

Ответ: =(4, 0)  точка регулярного условного максимума, f_max=64, =(1, 0)  точка регулярного условного минимума, f_min=4.

Пример IV. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(X)=(x₁2)²+ extr

Решение. В нашем случае ₁(Х)= и ₂(Х)=x₁.

Действуем по общей схеме:

1. L(X, ₀, )=₀((x₁2)²+ )+₁( )+₂(x₁).

2. =2₀(x₁2)+2₁x₁₂, =2₀x₂+2₁x₂.

(3.3.7)

3. а) ₀=0. Тогда первые два уравнения образуют систему

Так как ₀, ₁ и ₂ одновременно не равны нулю, то ₁≠0 или ₂≠0.

Если ₁≠0, то откуда и . Тогда

,

то есть ₂≠0, и из последнего уравнения системы (3.3.7) получаем, что  противоречие.

Таким образом, ₀≠0.

б) ₀=1. Тогда

(3.3.7)  (3.3.8)

Отдельно рассмотрим случаи:

Случай 1. . Из первого уравнения системы (3.3.8) получаем , то есть . Из второго уравнения  . Таким образом, (X₁, ₁)=(2, 0; 0, 0)  условно-стационарная точка.

Случай 2. . Тогда из второго уравнения получаем , а из последнего  . Теперь первое уравнение примет вид , то есть , и получили условно-стационарную точку (X₂, ₂)=(0, 0; 0, 4).

Случай 3. . Тогда из системы (3.3.8) получаем систему

(3.3.9)

Первое уравнение преобразуется:

  .

Поэтому равенство невозможно. Значит, , и из второго уравнения системы (3.3.9) получаем , откуда и из последнего уравнения получаем . Так как   , то . Теперь из получаем и , что противоречит условию случая.

Случай 4. . Тогда из последних двух уравнений системы (3.3.8) получаем



Теперь первое уравнение (3.3.8) принимает вид , то есть , а второе принимает вид , где . Значит, , и получили ещё две условно-стационарные точки:

(X₃, ₃)=(0, 2; 1, 4), (X₄, ₄)=(0, 2; 1, 4).

4. В точках X₃ и X₄ оба ограничения активны: и l=2=n, то есть выполнены достаточные условия первого порядка. При этом ₃=₄=(1, 4), то есть и . Значит, X₃ и X₄  точки регулярного условного максимума.

В точке X₁ активно только первое ограничение и l=1<n=2, то есть достаточные условия первого порядка не выполнены. Проверим достаточные условия второго порядка.

Имеем = =1+₁, = =0.

d²L=(1+₁)d +(1+₁)d =(1+₁)(d +d ).

При X=X₁ имеем и d²L=d +d >0, то есть X₁  точка регулярного условного минимума.

В точке X₂ активно только второе ограничение и l<n. Проверим достаточные условия второго порядка.

1) Как мы уже видели, d²L=(1+₁)(d +d ), и при X=X₂ снова и d²L=d +d >0. При этом ₂=4<0, то есть знаки d²L( )>0 и не согласуются, и необходимые условия второго порядка в точке X₂ не выполнены.

5. Вычислим значения функции в точках условного экстремума:

f_min=f( )=(22)²+0²=0, f_max=f( )=f( )=(02)²+(2)²=8.

Ответ: =(2, 0)  точка регулярного условного минимума, f_min=0, =(0, 2), =(0, 2)  точки регулярного условного максимума, f_max=8.