1.2. Условный экстремум функции одной переменной

В стандартных курсах высшей математики (или математического анализа) рассматривается задача нахождения экстремумов функции одной переменной y=f(x) на некотором отрезке [a, b]. Эта задача формулируется в виде (1). Действительно, отрезок [a, b] может быть решением некоторого неравенства, например, неравенства x²(a+b)+ab0. Поэтому эту задачу можно сформулировать в виде (1) так:

f(x)  max(min)

x²(a+b)+ab0.

Эта задача решается по следующей схеме:

1. Найти производную функции y=f(x).

2. Решив уравнение y=0, найти стационарные точки функции.

3. Вычислить значения функции в стационарных точках и на концах отрезка [a, b].

4. Выделить из значений функции, вычисленных в пункте 3, наибольшее и наименьшее значения.

Пример III. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=4x³+9x²+6x1 на отрезке [2, 3].

Решение. 1. Найдём у функции производную: y=12x²+18x+6.

2. Решая уравнение y=0, найдём стационарные точки функции:

y=0  x₁= , x₂=1  стационарные точки функции

(подробности см. решение Примера I)

3. Вычислим значения функции в стационарных точках и на концах отрезка [2, 3]:

f(1)=2, f = (подробности см. решение Примера I),

f(2)=4(2)³+9(2)²+6(2)1=3, f(3)=43³+93²+631=206.

4. Сравнивая полученные в предыдущем пункте значения функции, выделяем из них наибольшее и наименьшее значения: f_наим(x)=f(2)=3, f_наиб(x)=f(3)=206.

Ответ: f_наим(x)=3 достигается в точке x=2,

f_наиб(x)=206 достигается в точке x=3.

1.3. Безусловный экстремум функций двух переменных

Напомним, что в данном параграфе мы рассматриваем классические методы оптимизации, и для функций нескольких переменных ограничиваемся двумя переменными: z=f(x, y). Также напомним, что в отношение вектора возможно одновременное применение в качестве обозначений как строки, так и столбца. При чтении произведений типа AX или XA, где X  вектор, а A  (mn)-матрица, разночтений быть не должно: в первом случае  это столбец с n элементами, во втором  строка с m элементами.

1.3.1. (Необходимое условие экстремума функции двух переменных) Пусть X^*=(x₀, y₀)R²  точка локального минимума (максимума) функции z=f(x, y) на множестве R² и z=f(x, y) дифференцируема в точке X^*. Тогда градиент функции z=f(x, y) в точке X^* равен нулю:

z(X^*)=0, (1.3.1)

что равносильно системе

(1.3.2)

Точки, удовлетворяющие условиям (1.3.1) или (1.3.2), называются стационарными.

Условия 1.3.1 и 1.3.2 являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными. Действительно, для функции f(x, y)=x³y³ точка X^*=(0, 0) является стационарной точкой, так как

, =0  (3x², 3y²)=0  (х, y)=0

(то есть выполняются условия (1.3.1) и (1.3.2)). Но эта точка не является точкой экстремума, так как существуют точки X¹ и X², в которых имеют место неравенства f(X₁)<f(X^*)<f(X₂): достаточно взять X₁=(0; ) и X₂=(; 0), где >0  сколь угодно малое число.

Для того, чтобы проверить, является ли стационарная точка точкой экстремума, используются следующие достаточные условия экстремума:

1.3.2. (Достаточные условия экстремума функции двух переменных) Пусть функция z=f(x, y) в точке X^*=(x₀, y₀) дважды дифференцируема, z(X*)=0 и или , >0 ( или ). Тогда точка X^* является точкой локального минимума (максимума) функции z=f(x, y) на R².

Другими словами, в точке X^*=(x₀, y₀) функция z=f(x, y) достигает своего экстремума, если (X*)= >0; при этом вид экстремума будет минимумом, если или , и максимумом при или .

Отметим, что если (X^*)<0, то в точке X^* экстремума нет, а при (X^*)=0 экстремум может существовать, а может и не существовать. В этом случае для решения вопроса требуются дополнительные исследования.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию двух переменных на безусловный экстремум (то есть найти для функции точки экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Найти у функции частные производные первого порядка.

2. Решив систему (1.3.2), найти стационарные точки функции.

3. Найти у функции частные производные второго порядка и составить матрицу H(X)= .

4. Определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие  точками минимума, какие  ни тем, ни другим. Для этого вычислить определитель (X^*)= , и если (X^*)<0, то X^* не является точкой экстремума. Если (X^*)>0, то X^*  точка экстремума, и по знаку или определить вид экстремума.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример IV. Исследовать функцию z=2x²+3xy+2y²+3x3y+2 на безусловный экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =4x+3y+3, =3x+6y3.

2. Решая систему (1.3.2), найдём стационарные точки функции:

 

Применив к последней системе, например, правило Крамера, получаем (x, y)= , то есть X^*=  стационарная точка.

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу H(X)= : =4, = =3, =6, H(X)= .

4. Так как = =27>0, то в точке X^*= функция достигает своего экстремума. При этом =4>0. Поэтому в точке X* функция достигает минимума.

5. Вычисляем значение функции в точке минимума:

f_min(x, y)=f =2 +3  +2 +3 3 +2= .

Ответ: f_min(x, y)= достигается в точке , точек максимума у функции нет.

Пример V. Исследовать функцию z=3xyxy²x²y на безусловный экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции частные производные первого порядка: =3yy²2xy, =3x2xyx².

2. Решая систему (1.3.2), найдём стационарные точки функции:



Вычитая из первого уравнения системы второе, приходим к уравнению 3y3xy²+x²=0. Дальнейшие очевидные преобразования приводят к уравнению (yx)(3yx)=0. Дальше рассмотрим отдельно два случая:

Случай 1. yx=0, то есть y=x. Подставляя это равенство, например, в первое уравнение системы, получаем уравнение 3x3x²=0, решениями которого являются x₁=0 и x₂=1. Тогда решениями системы являются Х₁=(0, 0) и Х₂=(1, 1).

Случай 2. 3yx=0, то есть y=3x. Подставляя это равенство во второе уравнение системы, получаем уравнение 3x+x²=0, решениями которого являются x₁=0 и x₂=3. Тогда y₁=30=3, y₂=33=0, и решениями системы являются Х₃=(0, 3) и Х₄=(3, 0).

3. Найдём у функции частные производные второго порядка и составим матрицу H(X):

=2y, =2х, = =32(x+y), H(X)= .

4. Определим, какие из стационарных точек Х₁=(0, 0), Х₂=(1, 1), Х₃=(0, 3) и Х₄=(3, 0) являются точками максимума, какие  точками минимума, какие  ни тем, ни другим. Для этого для каждой из стационарных точек X^* находим значение (X^*)=|H(X^*)|, и если (X^*)>0, то определяем вид экстремума.

Пусть X^*=Х₁=(0, 0). Тогда H(X₁)= и (X₁)=9<0. Значит, Х₁=(0, 0) не является точкой экстремума.

Пусть X^*=Х₂=(1, 1). Тогда H(X₂)= и (X₂)=3>0. Значит, Х₂=(0, 0) является точкой экстремума. Так как (X₂)=2<0, то в этой точке достигается максимум.

Для точек X₃ и X₄ имеем H(X₃)= , H(X₄)= , (X₃)=(X₄)=9<0, и эти точки не являются точками экстремума.

Таким образом, из стационарных точек только точка X₂ является точкой экстремума  точкой максимума.

5. Вычисляем значение функции в этой точке:

f_max(x, y)=f(X₂)=31111²1²1=1.

Ответ: (1, 1)  точка локального максимума, f_max(X)=1.

1.4. Условный экстремум функций двух переменных. В стандартных курсах высшей математики (математического анализа), как правило, ограничиваются задачей условного экстремума функции двух переменных с одним ограничением типа равенства:

f(x, y)  min (max)

(x, y)=0 (1.4.1)

Множество, определяемое ограничением (x, y)=0, обозначим через М.

Функция

L(x, y, )=f(x, y)+(x, y) (1.4.2)

называется классической функцией Лагранжа, число   множитель Лагранжа.

1.4.1. (Необходимые условия условного экстремума функции от двух переменных с одним ограничением). Пусть X^*=(x₀, y₀)R²  точка локального минимума (максимума) функции z=f(x, y) на множестве М. Тогда существует число 0 такое, что выполняются условия:

(1.4.3)

Точки, удовлетворяющие системе (1.4.3) при некотором , называются условно-стационарными.

Ясно, что условия (1.4.3)  не что иное, как необходимое условие экстремума функции Лагранжа (так как ). Поэтому решение задачи (1.4.1) сводится к исследованию функции Лагранжа (1.4.2) на безусловный экстремум. В общем случае решение этой задачи рассматривается ниже. Мы же к данному моменту умеем исследовать на безусловный экстремум только функцию двух переменных. А пока предлагаем следующую схему решения задачи (1.4.1).

1) Построить классическую функцию Лагранжа (1.4.2).

2) Найти частные производные , функции Лагранжа.

3) Решая систему (1.4.3) найти условно-стационарные точки.

4) Вычислить значения функции z=f(x, y) в точках X^*=(x₀, y₀) для условно-стационарных точек (X^*, )=(x₀, y₀, ).

5) Если значения функции z=f(x, y) для различных X^* не совпадают, то выбрать из них наибольшее и наименьшее значения. Они и будут искомыми условными экстремумами.

6) Если значения функции z=f(x, y) для всех X^* совпадают, в частности, если условно-стационарная точка единственна (решение системы (1.4.3) единственное), то по некоторым другим признакам определяем, какой вид экстремума достигается в точке (x₀, y₀). Например, взяв точку, координаты (x₁, y₁) которой удовлетворяют уравнению (x, y), отличную от (x₀, y₀), вычисляем значение функции в этой точке и сравниваем с f(x₀, y₀). Если f(x₀, y₀)<f(x₁, y₁), то (x₀, y₀)  точка условного минимума, а если f(x₀, y₀)>f(x₁, y₁), то (x₀, y₀)  точка условного максимума.

Пример VI. Исследовать на условный экстремум функцию:

f(x, y)=x+yextr

.

Решение. В нашем случае (x, y)= (Х)=

1. Составим обобщённую функцию Лагранжа:

L(x, y, )=x+y+( ).

2. Найдём частные производные функции L(x, y, ):

=1+2x, =1+2y.

3. Решим систему (1.4.3):

 

Из первых двух уравнений системы получаем x= , y= , подставляя которые в третье, имеем =8  =  = . Отсюда x= 2, y= 2, то есть (X₁, ₁)=(2, 2, ), (X₂, ₂)=(2, 2, )  две условно-стационарные точки.

4. Вычислим значения функции в точках X₁=(2, 2) и X₂=(2, 2) для условно-стационарных точек (X₁, ₁)=(2, 2, ) и (X₂, ₂)=(2, 2, ) (решений системы (1.4.3)):

f(X₁)=f(2, 2)=2+2=4, f(X₂)=f(2, 2)=22=4.

5. Так как f(X₁)=4>4=f(X₂), то есть f(X₁)>f(X₂), то в точке X₁=(2, 2) достигается условный максимум функции z=x+y, а в точке X₂=(2, 2) достигается условный минимум.

Ответ: X₁=(2, 2)  точка регулярного условного локального максимума, f(X₁)=4, X₂=(2, 2)  точка регулярного условного локального минимума, f(X₂)=4.