Глава I. Нелинейное программирование: экстремумы функций нескольких переменных

В этой главе мы рассматриваем элементы нелинейного программирования в рамках методов нахождения экстремумов функций нескольких переменных. С точки зрения сделанных замечаний во введении (§4), задача нахождения экстремумов функций нескольких переменных формулируется следующим образом:

f(x₁, x₂, …, x_n)  min (max)

(1)

где f, _i (i=1, 2, …, m)  некоторые функции из R^п в R. При этом система ограничений может отсутствовать.

Отметим, что в стандартном курсе высшей математики (математического анализа) эти вопросы изучаются для весьма ограниченного круга функций: функций одной переменной и функций двух переменных. Поэтому эти классы функций мы выделим в отдельный параграф:

§1. Классические методы оптимизации

1.1. Безусловный экстремум функции одной переменной

1.1.1. (Необходимое условие экстремума функции одной переменной) Пусть x*R  точка локального минимума (максимума) функции y=f(X) на множестве R и f(x) дифференцируема в точке x*. Тогда производная функции f(x) в точке x* равна нулю:

f(x*)=0. (1.1.1)

Точка, удовлетворяющая условию (1.1.1), называется стационарной.

Условие 1.1.1 является необходимым условиям экстремума, но не достаточным. Действительно, для функции y=x³ точка x*=0 является стационарной точкой, так как f(x)=0  3x²=0  х=0 (то есть в точке х=0 выполняется условие (1.1.1)). Но эта точка не является точкой экстремума, так как существуют точки x₁ и x₂, в которых имеют место неравенства f(x₁)<f(x*)<f(x₂): достаточно взять x₁= и x₂=, где >0  сколь угодно малое число: f(x₁)=³, f(x₂)=³ и ³<0<³.

Для того, чтобы проверить, является ли стационарная точка точкой экстремума, используются следующие достаточные условия экстремума:

1.1.2. (Первое достаточное условие экстремума функции одной переменной). Пусть производная y=f(x) функции y=f(x) в стационарной точке x* меняет знак на противоположный. Тогда точка x* является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с «+» на «», то точка x* является точкой максимума, а если производная меняет знак с «» на «+», то точка x*  точка минимума.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию одной переменной на безусловный экстремум (то есть найти для функции точки экстремумов, определить их характер и вычислить значения функции в этих точках), достаточно:

1. Найти у функции производную.

2. Решив уравнение (1.1.1), найти стационарные точки функции.

3. Решив неравенство y>0 (y<0), определить, меняет ли знак производная в стационарных точках.

4. По характеру перемены знака производной определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие  точками минимума, какие  ни теми, ни другими.

5. Вычислить значения экстремумов функции (то есть вычислить значения функции в точках экстремума).

Пример I. Исследовать функцию y=4x³+9x²+6x1 на экстремум.

Решение. 1. Найдём у функции производную: y=12x²+18x+6.

2. Решая уравнение (1.1.1), найдём стационарные точки функции:

y=0  12x²+18x+6=0  2x²+3x+1=0, D=3²421=1, x_{1, 2}= = ,

то есть x₁= , x₂=1  стационарные точки функции.

3. Решая неравенство y>0, определяем, меняет ли знак производная в стационарных точках (используя метод интервалов):

y>0  2x²+3x+1=0  2(x+ )(x+1)>0  x( ; 1)( ; + ).

В частности, это означает, что y<0  x(1; ), то есть y меняет знак на противоположный в обеих стационарных точках.

4. В точке x₁= y меняет знак с «» на «+». Поэтому эта точка  точка минимума. В точке x₂=1 y меняет знак с «+» на «». Поэтому эта точка  точка максимума.

5. Вычисляем значения экстремумов функции в точках экстремума:

f_min(x)=f =4 +9 +6 1= ,

f_max(x)=f(1)=4(1)³+9(1)²+6(1)1=2.

Ответ: x=1  точка локального максимума, f_max(x)=2,

x=  точка локального минимума, f_min(x)= .

1.1.3. (Второе достаточные условия экстремума функции одной перменной) Пусть функция y=f(x) в точке x* дважды дифференцируема, f(x*)=0 и f(x*)>0 (f(x*)<0). Тогда точка x* является точкой локального минимума (максимума) функции f(x) на R.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на безусловный экстремум, достаточно:

1. Найти у функции производную.

2. Решив уравнение (1.1.1), найти стационарные точки функции.

3. Найти у функции производную второго порядка.

4. Определить, какие из стационарных точек являются точками максимума, какие  точками минимума, какие  ни теми, ни другими. Для этого вычисляем значение второй производной в стационарных точках.

5. Вычислить значения экстремумов функции.

Пример II. Исследовать функцию y=4x³+9x²+6x1 на экстремум.

Решение. 1. y=12x²+18x+6.

2. y=0  x₁= и x₂=1.

3. Найдём у функции производную второго порядка: y=24x+18.

4. Подставляя в y стационарные точки. Определяем, какие из них являются точками максимума, какие  точками минимума: y(1)=24(1)+18=6<0. Поэтому x=1  точка максимума.

Далее, y =24 +18=6>0. Поэтому x=  точка минимума.

5. f_max(x)=f(1)=2, f_min(x)=f = .

Ответ: x=1  точка локального максимума, f_max(x)=2,

x=  точка локального минимума, f_min(x)= .