Контрольные вопросы

1. Чем создаются магнитные поля и на что они действуют?

2. Какой величиной характеризуется магнитное поле в точке пространства?

3. Что такое принцип суперпозиции полей?

4. Закон Био Савара.

5. Способ измерения индукции магнитного поля, используемый в данной работе.

6. Принцип расчета поля, изложенный в приложении.

7. Расчет индукции магнитного поля в центре и на оси плоского витка на расстоянии Х от его центра.

Литература

1. А. В. Астахов, Ю. М. Широков. Курс физики. М.: «Наука», 1980. Т. II. 359 с.

2. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. М.: «Мир», 1966. Вып. 5. 296 с.

3. Д. В. Сивухин. Общий курс физики. Т. III. Электричество. М.: «Наука», 1977. 688 с.

4. И. Е. Иродов. Электромагнетизм. Основные законы. М.-СПб.: Физматлит, 2000. 350 с.

Лабораторная работа э.6 изучение явления взаимной индукции

Цели работы

1) Исследование взаимной индукции коаксиально расположенных соленоида и короткой катушки.

2) Определение значений взаимных индуктивностей.

Теоретическое введение

Рассмотрим два неподвижных контура 1 и 2, расположенных близко друг к другу (рис. 1). Если по контуру 1 течет постоянный ток I₁, то в окружающем этот контур пространстве возникает магнитное поле, которое можно изобразить графически с помощью магнитных силовых линий (сплошные линии на рисунке). Часть этих линий пронизывает контур 2, создавая в нем магнитный поток . Здесь B₁ – магнитная индукция, создаваемая током I₁ в области поверхности S₂, натянутой на контур 2, по которой ведется интегрирование. Подынтегральное выражение является скалярным произведением векторов, указанных в скобках.

При этом вектор dS определяется так:dSравен площади dS элемента поверхности интегрирования, направление вектора dS задает единичный вектор нормали n к dS (n = 1), так что dS = n dS. Поэтому величина (B dS) = (Bn)dS = B_n dS, где B_n – проекция B на выбранную нормаль.

Аналогично, если по контуру 2 течет ток I₂ (магнитное поле этого тока изображено пунктирными линиями на рис. 1), то магнитное поле этого тока создает в контуре 1 магнитный поток ₁₂.

Согласно закону Био-Савара магнитная индукция B₁, создаваемая током I₁, пропорциональна этому току, поэтому магнитный поток ₂₁ также (в отсутствие ферромагнетиков) пропорционален величине I₁, т.е. выполняется равенство

₂₁ = L₂₁ I₁ . (1)

Понятно, что (в отсутствие ферромагнетиков) должно выполняться и симметричное равенство

₁₂ = L₁₂ I₂ . (2)

Коэффициенты пропорциональности L₂₁ и L₁₂, входящие в формулы (1) и (2), называются взаимными индуктивностями или коэффициентами взаимной индукции.

При изменении тока I₁ в первом контуре, величина магнитного потока ₂₁, пронизывающего контур 2, также изменяется, поэтому в нем индуцируется ЭДС

. (3)

Соответственно имеет место и формула

. (4)

Взаимная индуктивность L₁₂ зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей среды. Можно показать, что если взаимодействующие контуры находятся в среде, не имеющей ферромагнитных свойств, то выполняется так называемая теорема взаимности: L₁₂ = L₂₁.

Рассмотрим теперь взаимодействие катушек с плотной намоткой проводников. В этом случае полный магнитный поток, пронизывающий катушку, равен сумме потоков, пронизывающих каждый ее виток, Величина  называется также потокосцеплением.

Для потокосцеплений ₁₂ и ₂₁ справедливы выражения ₁₂ = L₁₂ I₂ и ₂₁ = L₂₁I₁, аналогичные формулам (1) и (2), где теперь L₁₂ и L₂₁ – взаимные индуктивности катушек.

Е сли в обеих катушках протекают одновременно токи I₁ и I₂, то полное потокосцепление катушек  состоит из суммы магнитных потоков ₁₁ и ₂₂ через каждую катушку, обусловленных их собственными магнитными полями, и магнитных потоков ₁₂ и ₂₁, возникающих вследствие магнитного взаимодействия катушек между собой:

 = ₁₁+₂₂  (₁₂+₂₁). (5)

Знак взаимного потокосцепления ₁₂ в формуле (5) определяется взаимной ориентацией магнитного поля B₁, создающего в катушке 1 собственный поток ₁₁ и магнитного поля B₂, создающего в ней же поток ₁₂. Это же правило определяет знак величины ₂₁. Если по катушкам протекает одинаковый ток, то величина полного потокосцепления пропорциональна силе этого тока:

 = LI . (6)

В этом случае справедливо следующее равенство:

L = L₁ + L₂  2L₁₂ , (7)

где L₁ и L₂ – собственные индуктивности катушек и L₁₂ их взаимная индуктивность.

В лабораторной работе определяется взаимная индуктивность длинной катушки 1 (соленоида) и короткой катушки 2, расположенной соосно с соленоидом, причем так, что ее центр смещен относительно одного из торцов на расстояние x (см. рис. 2).

Пусть N₁ – число витков в соленоиде и N₂ – число витков в короткой катушке, пусть далее B_c – магнитная индукция. создаваемая соленоидом, и S – площадь поперечного сечения короткой катушки. Известно, что магнитное поле, создаваемое внутри соленоида, является однородным, т.е. B_c  const, поэтому взаимное потокосцепление короткой катушки равно

_{21 =} N₂ B_c S . (8)

Сопоставляя формулы ₂₁ = L₂₁I₁ и (8), находим

(9)

Величина магнитной индукции B_c на оси соленоида в произвольной точке А, находящейся на расстоянии x от его левого торца (см. рис. 2), дается следующим выражением (вывод этой формулы дан в приложении к работе Э.5):

, (10)

где

(11)

и – погонная (на единицу длины) плотность витков соленоида.

Из формул (10) и (11) видно, что в центре бесконечно длинного соленоида ( )

= 1 и . (10а)

Соответственно на краю соленоида (левом) =0, 1, в этом случае:

. (10б)

Таким образом, величина магнитной индукции в центре длинного соленоида в два раза больше, чем на краю.

Подставив формулы (10) и (11) в выражение (9), получим величину взаимной индукции L₂₁ в зависимости от координаты x короткой катушки относительно левого края соленоида:

. (9a)

Лабораторная установка и вывод расчетных формул

Лабораторная установка включает в себя лабораторный модуль, генератор гармонических колебаний и выносной элемент, состоящий из соосно смонтированных короткой катушки 2 и длинной (соленоида) 1. Короткая катушка может перемещаться относительно соленоида вдоль измерительного штока, имеющего сантиметровые деления.

На лицевой панели лабораторного модуля имеются гнезда для подключения генератора, катушек и милливольтметра, а также изображена электрическая схема установки (рис. 3). Соленоид и катушка подключаются соответственно к гнездам 1, 4 и 3, 5. Генератор подключается к гнездам замаркированным PQ, а милливольтметр к гнездам PV. Милливольтметр может измерять либо действующее значение напряжения на генераторе u_г, либо напряжение на катушках u_L в зависимости от положения переключателя П₂. Необходимые для расчетов константы имеют следующее значение N₁=800, N₂=200, l=150 мм, S=8,010^-4 м², R = 68 кОм, L₁ = 5,9 мГн, L₂ = 6,5 мГн.

П одаваемое на одну из катушек напряжение генератора изменя-ется по закону u_г = U₀ cos t, где  = 2 – циклическая час-тота. Так как в цепь генератора может быть включено сопротив-ление R, то возможны два метода определения взаимной индуктив-ности.

Пусть к генератору подключен соленоид (см. рис.4). Мгновенное значение силы тока в соленоиде i₁ определяется законом Ома для переменного тока (см. приложение)

(12)

где z – полное сопротивление цепи и  – разность фаз, возникающая в такой цепи, между напряжением и током. Если в цепи существует некоторое активное сопротивление R и если сам соленоид обладает некоторым активным сопротивлением R₁, то полное сопротивление такой цепи равно

(13)

Подставив выражения (12) и (13) в формулу (3), получим

. (14)

Из (14) видно, что максимальное значение ЭДС взаимной индукции равно

. (14а)

В силу технологических особенностей активное сопротивление соленоида R₁ (также как и короткой катушки) является достаточно малой величиной и при использовании R = 68 кОм справедливо следующее неравенство R₁ R, поэтому в данной работе будут изучены следующие две ситуации.

1) В цепи генератора присутствует активное сопротивление R. В этом случае справедливо неравенство: R + R₁  R₁ L_1. Следовательно, выражение (14.а) для приобретает вид или . Последнее выражение справедливо и для действующих значений напряжения U_д генератора и ЭДС взаимной индукции :

. (15)

2) Сопротивление R в цепи генератора отсутствует. В этом случае справедливо неравенство: R₁ L_1. Тогда из (14.а) получаем:

. (16)

В работе предлагается проверить соотношение L₁₂ = L₂₁, для этого необходимо короткую катушку присоединить к генератору, а соленоид к милливольтметру. В этом случае получатся следующие расчетные формулы:

, (15.а)

. (16.а)

Здесь – действующее значение ЭДС взаимоиндукции, возникающей в соленоиде, и L₂ – индуктивность короткой катушки.