Баланс формального и неформального

Формальное изложение (гипотезы, определения, леммы, теоремы, следствия, замечания) должно перемежаться неформальными пояснениями, интерпретациями, замечаниями, примерами, апеллирующими к интуиции и здравому смыслу. Однако оформляться это должно так, чтобы читатель сразу понял:«вот тут закончились доказательства и начались интерпретации».В англоязычных статьях в этом месте принято вставлять раздел Discussion (обсуждение).

Наблюдение.Эпоха чисто формальных текстов в прикладной математике уходит в прошлое. Их приходится не читать, а буквально расшифровывать, что влечёт неоправданные затраты времени. С другой стороны, нестрогое изложение чревато тем, что читатель просто не поймёт, что же в точности хотел сказать автор. Да и автору легко поддаться искушению и красиво расписать какую-нибудь сырую идею, которая на поверку окажется неработоспособной.

Золотая середина — это дозированное сочетание математически строгого изложения и неформальных пояснений, которые подкрепляют друг друга.

Основные идеи текста должны быть в целом понятны, если целиком пропускать доказательства. Если внутри доказательства спрятана важная идея, то её обсуждение стоит вынести за пределы доказательства. В таком случае лучше разбить доказательство на леммы.

Структуризация

Изложение основной части должно быть структурировано, то есть разбито на блоки (параграфы, разделы). Каждый блок должен решать более-менее обособленную задачу. В начале блока должно быть объявлено, зачем она решается, и почему она решается именно так. Чтобы ответить на вопрос «зачем», надо вспомнить общую цель всего исследования. Чтобы ответить на вопрос «почему так», надо сделать обзор литературы.

Наблюдение.В маргинальных исследованиях вопросы «зачем» и «почему так» либо не ставятся, либо на них даются невнятные (неконкретные, слишком философские) ответы.Это может означать, что автор считает себя умнее мирового научного сообщества или просто поленился изучить предыдущий опыт, и теперь изобретает велосипед. Такие работы, как правило, неадекватны и только засоряют мозг.

Каждый раздел, независимо от уровня и объема, строится по одному и тому же сценарию. В начале неформально объясняется постановка задачи и её роль во всем исследовании (или в объемлющем разделе). В заключении неформально объясняется, что получилось, и как это интерпретировать. Если в следующих разделах полученный результат будет улучшен, об этом стоит упомянуть. Средняя часть может быть целиком формальной.

Важный принцип:изложение в целом должно быть понятным, если средние части во всех разделах целиком опустить.

Логичная последовательность изложения

Каждая следующая фраза должна логично вытекать непосредственно из предыдущей (или нескольких предыдущих). Слишком жёстко? Тогда хотя бы 95% фраз. Следить за линейной логикой изложения на порядок менее утомительно, чем за перескоками с темы на тему. Резкая смена темы должна оформляться в явном виде как новый параграф, раздел, подраздел.

Любой термин или обозначение должны быть введены до первого использования, даже если они общеупотребительны. Это вроде бы очевидно, но по неопытности трудно уследить за каждой закорючкой, особенно, когда текст многократно переделывается.

Наблюдение.В учебниках и хороших книгах таких грубых ошибок не бывает — благодаря тому, что эти тексты десятки раз вычитываются авторами, рецензентами и редакторами.