Теоретичні відомості.

Aбсолютно твердим тілом (далі просто твердим) називають тіло, взаємне розміщення частинок якого залишається незмінним. Для встановлення кінематичних динамічних закономірностей руху твердих тіл ми будемо розглядати, як систему матеріальних точок. Ми знаємо, що закономірності руху матеріальної точки встановлюються законами Ньютона. В такому випадку будь-який рух твердого тіла можна звести до поступального і обертального руху.

Поступальним рухом будемо називати рух, при якому тіло переміщується паралельно самому собі. (Ознайомитись з поняттям центра мас та методикою визначення координат центра мас). Для кінематичного задання поступального руху твердого тіла достатньо задати рух центра мас, тобто записати рівняння руху матеріальної точки.

Обертальним рухом називається рух, при якому всі точки твердого тіла описують кола, центри яких розташовані на одній прямій, яка називається віссю обертання. Самостійно дати означення кутових переміщень, швидкості та прискорення векторів; записати зв’язок між лінійними та кутовими характеристиками. Динамічні характеристики обертального руху: момент сили, момент інерції та момент імпульсу.

Моментом сили називають фізичну величину, чисельно рівну:

, (1)

де r - радіус-вектор, що з’єднує в площині дії сили вісь обертання з точкою прикладання сили, - прикладена сила.

Момент сили, що прикладений до твердого тіла, визначається як сума моментів сил прикладених до системи матеріальних точок:

. (2)

Момент інерції матеріальної точки рівний добутку маси точки на квадрат її відстані до осі обертання:

. (3)

У випадку твердого тіла: . (4)

Очевидно, що аналітично моменти інерції можна розрахувати тільки для тіл правильної геометричної форми, що володіють певною симетрією і вісь обертання яких співпадає з віссю симетрії. Якщо вісь симетрії не співпадає з віссю обертання, момент інерції обраховують за формулою Штейнера:

, (5)

де R - віддаль від осі обертання до осі, відносно якої визначено момент інерції J₀ .

Основне рівняння динаміки обертального руху має вигляд:

, (6)

де M - момент сили, що надає тілу момент інерції J, β - кутове прискорення .

Рівняння (6) може бути переписане у вигляді:

_. (7)

Фізична величина, чисельно рівна добутку моменту інерції на кутову швидкість називається моментом імпульсу.

Момент імпульсу L однорідного тіла, що обертаеться з кутовою швидкістю  навколо своєї осі симетрії, повязаний з моментом інерції J формулою:

L=J . (8)

Основне рівняння динаміки обертального руху може бути використане для визначення моментів інерції тіл любої форми.

З акони обертального руху зручно вивчати на приладі (рис. 1), який називається маятником Обербека.

Прилад складається з шківа радіуса r, який обертається навколо осі О, має чотири стержні, розміщених під кутом 90⁰ один до одного. На стержнях розміщено тягарці масою m, які можна переміщувати вздовж кожного з них. Прилад приводиться в рух тягарцем т₁, прикріпленого до шнура, що намотується на шків. Намотуючи шнур на шків піднімаємо тягарець т₁ на висоту h, і тим самим надаємо йому потенціальної енергії . При падінні тягарця його потенціальна енергія перетворюється в кінетичну енергію поступального руху тягарця і кінетичну енергію обертального руху системи:

. (9)

При цьому тягарець буде рухатись з прискоренням а, так як на його діє сила , де P – сила тяжіння, а T – сила натягу шнура. Звідси . Сила Т - надає кутового прискорення системі з чотирьох стержнів та шківа.

Поставимо задачу - визначити момент сили інерції цієї системи (без тягарців m). Момент сили, яка надає системі кутового прискорення дорівнює: , де лінійне прискорення тягарця дорівнює: . З цих рівнянь витікає:

(10)