3. Решение дифференциального уравнения в среде MathCad

Решим дифференциальные уравнения.

Воспользуемся функцией Odesolve, для решения одиночных дифференциальных уравнений. Эта функция используется в составе вычислительного блока, открывающегося директивой Given. В вычислительном блоке после директивы Given задается само уравнение и начальные условия: значение искомой величины в нулевой момент времени и значение первой производной искомой величины также в нулевой момент времени.

После расчета аналитическое выражение для этой функции не выводится, однако с ней можно выполнять математические операции, например, дифференцировать.

Для рассматриваемого примера искомые величины – ток в индуктивности i_L(t) и напряжение на емкости u_с(t).

Как известно, ток в индуктивности и напряжение на емкости согласно законам коммутации не изменяются мгновенно. Коммутация для схемы на рис. 4.1 заключается в подключении цепи к источнику тока, следовательно, ток в индуктивности до коммутации был равен нулю

i_L(0–) = i_L(0+) = 0.

Для документа MathCAD введем обозначение

х1(t) = i_L(t), х2(t) = u_C(t).

Тогда

х1(0) = i_L(0–) = 0, х2(0) = u_C(0) = 1.

Начальные значения производной тока и напряжения в нулевой момент времени

.

Введем обозначения

.

Поскольку расчет ведется в относительных единицах, то

.

Рис. 2

Для рассматриваемого примера, считая в начальный момент емкость ЭДС (так как uс(0-) = 1), а индуктивность разрывом (так как iL(0-) = 0), получим (рис. 2) .

То есть принимаем

Документ MathCAD

Решение дифференциального уравнения относительно

тока в индуктивности

Рисунок 3 – Зависимость тока в индуктивности от времени в относительных единицах

Документ MathCAD

Решение дифференциального уравнения относительно

напряжения на емкости

Рисунок 3 – Зависимость напряжения на емкости от времени в относительных единицах

Вывод: В результате проделанной лабораторной работы произведено исследование возможностей применения дифференциальных уравнений второго порядка и графического моделирования в двухмерном пространстве в среде MathCAD при решении электротехнических задач. В ходе выполнения работы была сформирована математическая модель электрической цепи в виде дифференциальных уравнений второго порядка относительно тока в индуктивности i_L и напряжения на емкости u_c. Коэффициенты при производных уравнения выражены в относительных единицах. Получено характеристическое уравнение цепи и определены его корни. В среде MathCAD решены дифференциальные уравнения и построены графики переходных процессов напряжения на емкости u_c(t), тока в индуктивности i_L(t) в относительных единицах, для интервала времени 5τ_max.