4.3 Определение двойного интеграла по ограниченному множеству.
Пусть С – ограниченное множество, f – функция, заданная на С. Обозначим через А какой-либо прямоугольник, содержащий С, через f0(х, у) – функцию на А, определенную на равенством
Мы
будем говорить, что функция f
интегрируема на множестве С, если
и полагать
.
Для того чтобы ответить на вопрос когда существует интеграл по ограниченному множеству, дадим следующее определение.
Определение
1. Пусть
.
Мы будем говорить, что множество С имеет
двумерный объем 0, если
конечное
число прямоугольников А1,
…, Ар
таких, что
.
Очевидно,
объединение конечного числа подмножеств
имеющих объем 0 есть также множество
объема 0.
Теорема1
. Пусть
функция f
непрерывна на отрезке
.
Тогда ее график
имеет двумерный объем 0.
Теорема2.
Пусть С – замкнутое ограниченное
множество, f
– непрерывная на С функция .
существует тогда и только тогда, когда
граница
множества С имеет двумерный объем 0.
4.4 Интеграл по криволинейной трапеции.
Теорема1.
Пусть j
и y
– непрерывные на отрезке
функции, такие, что
,
,
f – непрерывная на С функция. Тогда
.
Пример2. Вычислить интеграл
,
где С – множество, ограниченное прямыми у=х, у=2х, х=1.
Решение.
4.5 Измеримые множества. Площадь. Интеграл по измеримому множеству.
Определение 1.Замкнутое ограниченное множество называется измеримым, если имеет двумерный объем 0.
Так как
,
,
объединение и пересечение двух, и тем самым любого конечного числа, измеримых множеств измеримо.
Определение 2.
Площадь измеримого множества С
полагают равной
.
Теорема1. Пусть
– измеримые подмножества
,
такие, что
,
f – непрерывная на С
функция. Тогда
.
В частности,
.
Пусть
– замкнутое ограниченное множество.
Наибольшее из чисел
называется диаметром С и обозначается
.
Пусть С – измеримое множество. Разобьем
С на измеримые части
,
попарно пересекающиеся лишь по своим
границам, и пусть
.
Предположим ,что на множестве С задана
непрерывная функция f.
Теорема2.
.
Эта теорема обеспечивает многочисленные приложения двойного интеграла.
4.6 Несобственные двойные интегралы.
Определение 1.
Пусть
неограниченное
множество. Последовательность
измеримых множеств называется
исчерпывающей множество
,
если
и
.
Пример 1.
Последовательность
квадратов
будет
исчерпывающей для всей плоскости.
Определение 2.
Пусть
неограниченное
множество, на котором задана функция
интегрируемая на каждом измеримом
подмножестве множества
.
Если для любой исчерпывающей его
последовательности
измеримых множеств существует
,
не зависящий от выбора исчерпывающей
последовательности, то этот предел
называют несобственным интегралом от
функции
по
множеству
и обозначают
Также приняты следующие обозначения:
если
есть вся плоскость
,
то пишут
если
есть
бесконечный квадрант
,
то пишут
,
и т.д.
5) Непрерывное совместное распределение двух случайных величин.
Определение 1. Говорят, что случайные величины и , определенные на одном и том же пространстве элементарных исходов, имеют непрерывное совместное распределение, если найдется непрерывная неотрицательная функция , такая, что
.
При этом функция
называется плотностью совместного
распределения случайных величин
и
,
или плотностью распределения двумерной
случайной величины
Свойства плотности
1.
2.
выражение
функции распределения двумерной
случайной величины
через плотность совместного распределения.
3. Выражение функций распределения и составляющих и через плотность совместного распределения дают формулы:
4. Если функция имеет частную производную по одной из переменных, то она имеет частную производную по другой переменной и смешанную производную второго порядка, равную .
5.Допустим, что сходятся и неперерывны интегралы
и
Тогда функции
распределения
и
составляющих
и
дифференцируемы, и
и
их
плотности, соответственно:
,
6. Допустим, что интегралы
и
сходятся и неперерывны, а интегралы
и
сходятся. Тогда составляющие и имеют математические ожидания, которые вычисляются по формулам
.
7. Допустим, что интегралы
и
сходятся и неперерывны, а интегралы
и
сходятся. Тогда составляющие и имеют дисперсии, которые вычисляются по формулам
и
.
Рекомендуемая литература
Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая
статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004.
Контрольные задания для СРС
1. Дополнить лекцию примерами.
Литература:
Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. Пример 5.2, Стр. 182-183;
Пример 5.3, Стр.191-193.