Лекция 9. Раздел 1. Теория вероятностей

Рассматриваемые вопросы

1) Понятие о системе нескольких случайных величин.

2) Двумерная дискретная случайная величина и ее составляющие.

3) Функция распределения двумерной случайной величины и ее

составляющих.

4) Двойной интеграл.

5) Непрерывное совместное распределение двух случайных величин.

1) Понятие о системе нескольких случайных величин.

Обычно тот или иной процесс, или случайным образом отобранный объект характеризуются не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин .

Пример 1. Успеваемость ученика вуза характеризуется системой случайных величин - оценками по различным дисциплинам.

Пример 2. Погода в данном месте в определенное время суток может быть охарактеризована системой случайных величин: температура, влажность, давление, скорость ветра.

Поэтому оказывается необходимым ввести следующее понятие.

Определение 1. мерным случайным вектором, или мерной случайной величиной называется совокупность ( ) случайных величин, определенных на одном и том же пространстве элементарных исходов.

Мы будем изучать двумерные случайные величины.

2) Двумерная дискретная случайная величина и ее составляющие.

Определение 1. Двумерная случайная величина называется дискретной, если ее составляющие и дискретные случайные величины.

Определение 2. Законом распределения двумерной дискретной случайной величины называется множество всевозможных ее значений с указанием вероятностей одновременного выполнения равенств и .

Обычно этот закон записывают в виде таблицы

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

где , . Отметим, что сумма всех вероятностей, указанных в таблице, равна 1: .

Как видно из таблицы, составляющая принимает значения . При этом

. (1)

Поскольку события , из которых составлена сумма в правой части равенства (1), попарно не совместны, то

,

то есть сумме всех вероятностей, указанных в ой строке. Следовательно, закон распеределения составляющей имеет вид

			…
			…

Аналогичным образом, есть все значения составляющей , сумме всех вероятностей, стоящих в ом столбце. Следовательно, закон распределения составляющей имеет вид

			…
			…

Математическое ожидание и дисперсия составляющих и находятся по формулам

.

Предположим, что составляющая приняла значение . Обозначим через условную вероятность того, что примет значение при условии, что . Очевидно,

,

и тем самым

.

Под условным законом распределения при условии, что , понимают закон распределения

			…
			…

Аналогично, условная вероятность того, что примет значение при условии, что , находится по формуле

и соответствующий условный закон распределения имеет вид

			…
			…