4) Колебательное звено
ПФ
звена:
КПФ
звена:
,
где
а) б) в)
а) АЧХ ; б) ФЧХ ; в) АФЧХ
Частотные характеристики колебательного звена
При малых значениях ω имеется некоторое увеличение АЧХ по сравнению с апериодическим звеном II-го порядка. Причем при больших значениях отношения TК/TД на графике АЧХ появляется максимум. В пределе при TД = 0 АЧХ терпит разрыв II-го рода при значении ωр = 1/TК , т.е. резонанс проявляется при малом значении ξ.
АФЧХ более вытянута книзу, чем у апериодического звена II-го порядка.
5) Консервативное звено
ПФ
звена:
КПФ
звена:
где
а)
б)
jV(ω)
в)
φ(ω)
ωр=1/T k ω → ωр=1/T
0
-π
ω
ω=0
U(ω)
ω
→∞
а) АЧХ ; б) ФЧХ ; в) АФЧХ
Частотные характеристики консервативного звена
График АЧХ сходен с графиком АЧХ колебательного звена при малом значении коэффициента ξ , но максимальное значение модуля равно ∞.
Выражение для ФЧХ можно получить из ФЧХ колебательного звена предельным переходом при ξ → 0.
Изображение АФЧХ в комплексной плоскости имеет вид прямой, совпадающей с вещественной положительной полуосью, начинающейся от значения k (при ω = 0) и изменяющей свои значения при ω → 1/T .
6) 7) Интегрирующее звено
Идеальное И-звено
ПФ
звена:
КПФ
звена:
,
где
Реальное И-звено
ПФ
звена:
КПФ
звена:
где
а) б) в)
а) АЧХ ; б) ФЧХ ; в) АФЧХ
Частотные характеристики идеального (1) и реального (2) интегрирующих звеньев
АЧХ идеального и реального И-звена сходны и имеют вид экспоненты, асимптотически приближающейся к координатным осям. Звено обладает свойством ослабления амплитуды выходного сигнала по мере увеличения ω. При ω = 0 A(ω) = ∞, с увеличением ω A(ω) уменьшается и при ω = ∞
A(ω) = 0.
ФЧХ идеального И-звена показывает, что выходные колебания независимо от ω сдвинуты по фазе по отношению к входным колебаниям на -π/2 в сторону отставания.
ФЧХ реального И-звена имеет вид экспоненты, начинающейся от –π/2 (при ω = 0) и асимптотически приближающейся к –π, т.е.
инерционность звена увеличивает отставание по фазе еще более, чем на π/2. При частотах, меньших 1/T, ФЧХ реального И-звена близка к ФЧХ идеального И-звена.
АФЧХ изображается полупараболой, расположенной в 3-м квадранте.
8) Изодромное звено
ПФ
звена:
где
КПФ
звена:
где
а) б) в)
а) АЧХ ; б) ФЧХ ; в) АФЧХ
Частотные характеристики изодромного звена
9) 10) Дифференцирующее звено
Идеальное Д-звено
ПФ
звена:
;
КПФ
звена:
где A(ω) = kω ; φ(ω) = π/2
Реальное Д-звено
ПФ
звена:
КПФ
звена:
где
а) б) в)
а) АЧХ ; б) ФЧХ ; в) АФЧХ
Частотные характеристики идеального (1) и реального (2)
дифференцирующих звеньев
Идеальное Д-звено
При ω = 0 A(ω) = 0 , с увеличением ω A(ω) увеличивается и при ω = ∞ A(ω) = ∞. Звено обладает свойством усиления амплитуды выходного сигнала по мере увеличения ω. При этом выходные колебания независимо от ω сдвинуты по фазе по отношению к входным колебаниям на + π/2 в сторону опережения.
Модуль АФЧХ A(ω) пропорционален ω, поэтому АЧХ имеет вид прямой, наклонной к оси частот.
Реальное Д-звено только в области низких частот приближается по своим свойствам к идеальному Д-звену (сдвиг по фазе стремится к +π/2). С увеличением ω это звено приобретает свойства усилительного звена (модуль стремится к k/T, аргумент – к 0).
Инерционность этого звена снижает опережение по фазе по сравнению с идеальным Д-звеном тем больше, чем выше ω колебаний. Считается, что это звено выполняет свои Д-свойства удовлетворительно при частотах, меньших 1/T. АЧХ и ФЧХ звена имеют вид экспонент.
11) 12) Форсирующее звено
Ф-звено I-го порядка
ПФ звена: W(s) = k(Ts + 1) ; КПФ звена: W(jω) = k(Tjω + 1) = k + jkTω ,
где
Ф-звено II-го порядка
W(s) = k(T2s2 + 2ξTs + 1) ;
W(jω) = k[T2(jω)2 + 2ξTjω + 1] = k(1 – T2ω2) + j2ξkTω ,
где
а) б) в)
а) АЧХ ; б) ФЧХ ; в) АФЧХ
Частотные характеристики форсирующих звеньев
I-го (1) и II-го (2) порядка
АЧХ Ф-звеньев I-го II-го порядка сходны и имеют вид параболы, изменяющей свои значения от k (при ω = 0) до ∞.
ФЧХ Ф-звеньев I-го II-го порядка сходны и имеют вид экспоненты.
Звенья создают опережение выходной величины тем больше, чем больше ω. При ω → ∞ у звена I-го порядка опережение приближается к π/2, а у звена II-го порядка – к π.
АФЧХ представляет собой параболу, которая стремится к ∞ во II-м квадранте при ω → ∞.
13) Запаздывающее звено
ПФ звена: W(s) = e-sτ ; КПФ звена: W(jω) = 1.e-jωτ = A(ω).e-jφ(ω) ,
где A(ω) = 1 ; φ(ω) = -ωτ
а) б) в)
а) АЧХ ; б) ФЧХ ; в) АФЧХ
Частотные характеристики запаздывающего звена
При прохождении сигнала через звено его амплитуда не изменяется, но происходит сдвиг по фазе в сторону отставания. Причем с увеличением ω отставание по фазе выходных колебаний по отношению к входным увеличивается.
Выводы
Из вышеизложенного следует, что интегрирующие, инерционные и запаздывающие звенья вызывают запаздывание в прохождении сигнала через систему (отрицательный сдвиг по фазе). Следовательно, наличие в САУ этих звеньев не способствует улучшению качества регулирования.
Наоборот, дифференцирующие и форсирующие звенья дают выходной сигнал с опережением по отношению к входному (положительный сдвиг по фазе), и, следовательно, могут использоваться для улучшения свойств САУ.
Частотные свойства типовых динамических звеньев надо учитывать при моделировании систем управления технологическими процессами (ТП).
Как известно, ТП обладают инерционными свойствами, вследствие чего регулируемый параметр изменяется с запаздыванием и ослаблением по амплитуде по отношению к регулирующему воздействию. Очевидно, что успешное управление процессом возможно лишь при условии достаточного быстродействия и усиления сигнала в регуляторе.
Одноемкостные технологические объекты с самовыравниванием описываются инерционными звеньями I-порядка и, следовательно, имеют аналогичные этим звеньям ЧХ.
Сложные ТП могут иметь несколько разделенных друг от друга емкостей, в которых аккумулируются энергия или вещество. Увеличение числа емкостей в ТП вызывает увеличение порядка ДУ, описывающего процесс, и деформацию ЧХ, которая проявляется в том, что на одной и той же частоте будет увеличиваться сдвиг по фазе в сторону отставания, а амплитуда выходного сигнала – уменьшаться. При включении каждой дополнительной емкости предельный сдвиг по фазе увеличивается на -π/2.
Таким образом, многоемкостные технологические объекты имеют значительное запаздывание и более узкую полосу пропускания частот входных колебаний.
Аналогичную деформацию претерпевает ЧХ ТП при появлении в нем элементов чистого запаздывания.
При последовательном включении элемента чистого запаздывания в одноемкостный ТП с самовыравниванием его АЧХ не изменяется, однако ФЧХ получает дополнительный сдвиг по фазе в сторону отставания на всех частотах.
Например,
ПФ реактора с длинным трубопроводом:
,
где τ – время чистого запаздывания при прохождении реакционной смеси по трубопроводу.
АФЧХ
этой технологической схемы:
Т.е. данный ТП приближается по своим динамическим свойствам к многоемкостным процессам.
При включении элемента, обладающего свойствами И-звена, ТП теряет свойство самовыравнивания.
Например,
система из 2-х последовательно соединенных
резервуаров имеет ПФ вида:
,
откуда
выражение для АФЧХ:
Из этого выражения следует, что при ω = 0 АФЧХ по модулю обращается в ∞ (коэффициент усиления объекта k → ∞), а сдвиг по фазе при этом равен -π/2.
Таким образом, отсутствие свойства самовыравнивания влияет на низкочастотную область кривой АФЧХ и не оказывает существенного влияния на высокочастотную область, форма которой определяется инерционностью и запаздыванием.
Для повышения быстродействия АСР все элементы, входящие в систему, должны обладать минимальными инерционностью и запаздыванием. Регулятор должен иметь такой закон регулирования, который обеспечивает минимальное запаздывание регулирующего воздействия.
Существенное запаздывание вносят в АСР анализаторы качества, крайне необходимые при регулировании химических процессов. Это запаздывание может возрасти при использовании длинных импульсных линий в пневматических АСР.
Мембранные исполнительные ИМ пневматических систем обладают высоким быстродействием. Однако при необходимости развития больших усилий их инерционность становится соизмеримой с инерционностью других элементов системы и должна учитываться при расчете АСР.
Таким образом, в большинстве случаев регулирования инерционных ТП датчики, импульсные линии, ИМ и регулирующие органы могут рассматриваться как безынерционные элементы, обладающие определенным коэффициентом передачи, т.е. вызывающие изменение проходящего через них сигнала по амплитуде без искажения по фазе. В отдельных случаях инерционность и запаздывание в этих элементах могут оказаться значительными, что вызывает дополнительный сдвиг по фазе сигнала в системе в сторону отставания.