Частотные характеристики

Наряду с методом временных характеристик в ТАУ широко пользуются методом частотных характеристик (ЧХ), которые являются важной динамической характеристикой звеньев и систем.

Между временными и частотными характеристиками существует взаимосвязь.

На основе использования ЧХ разработаны инженерные частотные методы исследования АСР, достоинство которых в том, что ЧХ позволяют довольно просто выявлять влияние того или иного параметра на динамические свойства системы (устойчивость, переходный процесс и т.д.).

ЧХ можно получить как непосредственно из ПФ, так и экспериментально, что важно, т.к. полученные экспериментально ЧХ позволяют простыми графическими методами определить параметры АСР, не имея ДУ объекта регулирования. Для эксперимента есть специальная аппаратура – генератор гармонических колебаний с регулируемой частотой и устройство для измерения амплитуды и фазы колебаний.

При определении временных характеристик используется переходный режим как реакция на ступенчатое или импульсное воздействие. При экспериментальном определении ЧХ в объекте устанавливается режим установившихся незатухающих колебаний, поэтому влияние случайных посторонних возмущений и погрешностей измерительных приборов значительно меньше, чем в методе временных характеристик.

Это преимущество ЧХ обусловило их широкое применение в инженерной практике расчета АСР.

Кроме того, экспериментальное определение ЧХ важно в тех случаях, когда трудно составить уравнения динамики (например, для систем с распределенными параметрами).

Ачх, фчх и афчх линейной системы

В реальных условиях реакцией линейной системы на периодическое входное воздействие могут считаться только установившиеся колебания выходной величины, т.е. колебания, которые возникают в системе по истечении достаточно большого времени после начала входного воздействия.

Таким образом, если на вход системы (звена) подать воздействие вида

x(t) = X_mSin(ωt) ,

то через некоторое время, необходимое для завершения переходного процесса (исчезнет свободная составляющая x_св), на выходе системы также установятся вынужденные синусоидальные колебания с той же частотой, но отличные от входных по амплитуде и сдвинутые по отношению к ним по фазе. y(t) = Y_mSin(ωt + φ)

Преобразование гармонического сигнала по модулю и по фазе

Если такой эксперимент повторить для различных частот ω (от 0 до ∞), то можно получить зависимость изменения амплитуды А и фазы φ от ω.

Зависимость изменения отношения амплитуд выходного и входного колебаний от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

Зависимость сдвига по фазе между входным и выходным колебаниями от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

φ(ω) = φ

Обе характеристики могут быть объединены.

Рассмотрим на комплексной плоскости вектор, длина которого равна отношению амплитуд на данной ω , а положение определяется сдвигом по фазе при той же ω.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

При изменении ω от 0 до ∞ вектор вращается вокруг начала координат, оставляя на комплексной плоскости след. Кривая, которую очерчивает конец вектора при изменении ω от 0 до ∞, называется АФЧХ. Длина (модуль) этого вектора равна A(ω), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) – φ(ω).

АФЧХ является комплексной функцией частоты ω и так же, как комплексное число, может быть записана в 3-х формах:

1) в виде суммы вещественной и мнимой составляющих: W(jω) = U(ω)+jV(ω)

2) в тригонометрической форме: W(jω) = A(ω)^.[Cos φ(ω)+jSin φ(ω)]

3) в показательной форме: W(jω) = A(ω)^.e^jφ(ω) ,

где

, где k = 0, ±1, ±2, . . . . .

В практических расчетах чаще используют формы 1) и 3)

Из графика АФЧХ следуют следующие соотношения:

U(ω) = A(ω)^.Cos φ(ω) ; V(ω) = A(ω)^.Sin φ(ω)

Функцию W(jω) называют комплексной передаточной функцией (КПФ), а также амплитудно-фазовой частотной функцией. Ее действительную часть U(ω) = ReW(jω) называют вещественной частотной функцией, ее мнимую часть V(ω) = ImW(jω) – мнимой частотной функцией.

Модуль КПФ A(ω) = |W(jω)| называют амплитудной частотной функцией, а ее график – амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Аргумент КПФ φ(ω) = arg[W(jω)] называют фазовой частотной функцией, а ее график – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

КПФ является частным случаем ПФ и может быть получена из последней путем замены s = jω. В ПФ оператор s является комплексным числом (s = a + jω), а в КПФ – мнимой величиной.

Таким образом, ПФ связывает входную и выходную величины звена в любом режиме (переходном и установившемся) при условии, что входная величина может изменяться по любому закону во времени, а КПФ определяет зависимость выходной величины от входной лишь в установившемся режиме при подаче на вход гармонических колебаний.

ДУ, ПФ, временные характеристики и АФЧХ в различной форме определяют динамические свойства системы и связаны между собой, что дает возможность на определенном этапе анализа или синтеза САУ пользоваться наиболее удобной из них.