1.3 Основные этапы, особенности и методы решения транспортной задачи

Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

Предположим что на три базы , , поступил однородный груз в количествах: соответственно. Груз требуется развезти в пять пунктов: в пункт в пункт в пункт в пункт в пункт

Таблица 1.5.1

Пункт направления	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы, ai
A1	c11	c12	c13	c14	c15	A1
A2	c21	c22	c23	c24	c25	A2
A3	c31	c32	c33	c34	c35	A3
Потребности, bj	b1	b2	b3	b4	b5

Составим математическую модель данной задачи:

Целевая функция:

(1.5.1)

Ограничения:

(1.5.2)

- количество груза, отправляемого с базы в пункт

Одним из способов решения транспортных задач является метод северо-западного угла. На каждом этапе метода максимально возможным числом заполняют левую верхнюю клетку оставшейся части таблицы. Заполнение происходит таким образом, что полностью выносится груз из или полностью удовлетворяется потребность .

Методы решения транспортных задач

Так как транспортная задача является задачей линейного программирования, то её можно решать симплекс-методом, но в силу своей особенности её можно решить гораздо проще.

Условия задачи удобно располагать в таблице, вписывая в ячейки количество перевозимого груза из Аi в Bj груза X_ij ≥ 0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы C_ij.(рис. 1.5.1)

Рисунок 1.3.1

Затем решение задачи разбивается на два этапа:

 Определение опорного плана (Это решение можно найти, используя метод "северо-западного угла" или метод "минимального элемента".)

 Нахождение оптимального решения путем последовательных операций. Метод северо-западного угла

Сущность метода заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя (северо-западная) клетка оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо полностью выносится груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность Вj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы аi и не удовлетворятся все потребности bj. В заключении проверяют, удовлетворяют ли найденные компоненты плана Х_ij горизонтальным и вертикальным уравнениям.

Метод наименьшего элемента

Сущность метода в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.

Метод потенциалов

Соотношения определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n известными, имеющую бесчисленное множество решений; для её определённости одному неизвестному присваивают произвольное значение (обычно альфа равное 0), тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.

Критерий оптимальности

Если известны потенциалы решения Х0 транспортной задачи и для всех незаполненных ячеек выполняются условия α_i+β_j ≤ C_ij, то Х0 является оптимальным планом транспортной задачи.

Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице) так, чтобы транспортные расходы не увеличивались.

Цикл перерасчёта таблицы - это последовательность ячеек, удовлетворяющая условиям:

 Одна ячейка пустая, все остальные занятые.

 Любые две соседние ячейки находятся в одной строке или в одном столбце.

 Никакие три соседние ячейки не могут быть в одной строке или в одном столбце.

Пустой ячейке присваивают знак "+", остальным - поочерёдно знаки "-" и "+".

Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчёта сначала находят незаполненную ячейку (r, s), в которой αr+βs > Crs, и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X = min(X_ij). Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:

 В плюсовых клетках добавляем Х.

 Из минусовых клеток вычитаем Х.

 Все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

Получим новую таблицу, дающую новое решение Х, такое, что F (X₁) ≤ F (X₀); оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов, обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда существует.