Пример.
Событие А – «из ящика, где лежат несколько шаров, наудачу извлекают шар, и этот шар оказывается белого цвета»
Если в ящике лежат одни черные шары, то событие А – невозможное.
Если в ящике лежат несколько белых и несколько черных шаров, то событие А – случайное.
Если в ящике одни белые шары, то событие А – достоверное.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Из цифр 3, 2, 4 составили трехзначное число, взяв их в произвольном порядке.
Каким событием (невозможным, случайным или достоверным) являются каждое из событий: А – «это число делится на 3»,
В – «это число делится на 2»,
С – «это число делится на 5».
Задача 2. Каким событием является событие?
А – «Бросают игральный кубик. Выпавшее число делится на 2».
В – «Бросают два игральных кубика. Сумма выпавших очков на двух кубиках меньше 15».
С – «В классе 35 человек. Числа дня рождения у всех разные».
Совместные и несовместные события
Два события называются совместными, если в данных условиях они могут произойти одновременно (то есть появление одного из них не исключает появления другого в этом же опыте).
Два события называются несовместными, если в данных условиях они не могут произойти одновременно.
Несколько событий называют несовместными, если они попарно несовместны.
Пример. Бросают игральный кубик.
Событие А – «выпало четное число»
Событие В – «выпало число, делящееся на 3»
События А и В совместны (одновременно они могут произойти при выпадении числа 6)
Событие С – «выпало нечетное число»
Событие D – «выпало число, делящееся на 4»
События С и D несовместны (нечетное число никогда не может делиться на 4)
Задача (решите самостоятельно). Совместны или несовместны события:
Событие А – «написано нечетное число»
Событие В – «написано число, делящееся на 5»
Событие А – «на кубике выпало число, большее 2»
Событие В – «на кубике выпало число, меньшее 5»
Равновозможные события
Равновозможными называют события, если каждое из событий не обладает по отношению к другим никаким преимуществом появляться чаще других при многократных испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. В противном случае события называются неравновозможными.
Примеры. Равновозможные события:
Выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 при броске кубика.
Выпадение орла или решки при броске монеты.
Неравновозможные события:
Падение бутерброда на хлеб или маслом вниз.
Падение канцелярской кнопки плашмя или боком.
Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате испытания должно произойти одно и только одно из этих событий.
Если исходы некоторого испытания образуют полную группу событий (то есть попарно несовместны) и равновозможны, то такие исходы называются элементарными событиями (элементарными исходами).
Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.
Пример.
При подбрасывании кубика событию А – «выпало четное число очков» благоприятствуют исходы: выпадение чисел 2, 4, 6.
Классическое определение вероятности
Может быть использовано только в случае конечного числа равновозможных и попарно несовместных исходов.
Определение.
Если в некотором испытании существует
n равновозможных
и попарно несовместных исходов и m
из них благоприятствуют событию A,
то вероятностью наступления события
A называют отношение
, то есть
.
Пример 1. Из чисел от 10 до 19 наугад выбирают число. Какова вероятность, что оно делится на 3?
Решение:
Имеем
числа 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19; то есть n
= 10. Из них на 3 делятся числа 12, 15, 18; то
есть m = 3. Следовательно,
.
Пример 2. Класс, где учится 21 человек, разделили на группы по 7 человек. Какова вероятность, что Миша и Петя попадут в одну группу?
Решение:
Пусть
Миша попал в первую группу, тогда в этой
группе еще 6 мест, то есть m
= 6. Остальных учащихся, кроме Миши 20
человек, то есть n = 20.
Поэтому вероятность попасть Пете в одну
группу с Мишей равна
.
Замечание:
Вероятность
невозможного события
,
вероятность достоверного события
.
Задачи для самостоятельного решения:
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орёл, а во второй — решка.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Ответы: 1) 0,25; 2) 0,995; 3) 0,93; 4) 0,16; 5) 0,36; 6) 0,1; 7) 0,2; 8) 0,25; 9) 0,25; 10) 0,14.