3. Сложение гармонических колебаний, происходящих во взаимно перпен­дикулярных направлениях вдоль оси х и у.

х = A cos ωt

у = B cos(ωt + a)

х/А = A cos ωt

у/В = cos(ωt + a) = cos ωt ∙ cos a – sin ωt ∙ sin а

sin ωt = (1– cos² ωt)^1/2 = (1– х² /А)²

у/В = х/А cos a – (1 – х²/А²)^1/2 sin а

( (1– х²/А²)^1/2 sin а)² = (х/А cos a – у/В)²

sin² а – х²/А² ∙ sin²а = х²/А² ∙ cos ²а – 2ху/АВ ∙ cos a + у² /В²

х²/А² – 2ху/АВ ∙ cos a + у² /В² = sin²а

Траектория результирующего колебания имеет форму эллипса.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуды колебаний и разности фаз.

а) если а = kπ, k = 0,1,2..

cos a = ±1, sin a = 0,

(х/А – у/В)² = 0, х/А = ± у/В, у = ± В/А ∙ х

Траектория результирующего колебания – прямая, результирующее колеба­ние является гармоническим с частотой ω и амплитудой (А² + В²)^1/2 , совершаю­щимся вдоль прямой.

Рисунок 4 – Траектория результирующего колебания – прямая

б) Если а = (2k +1) , k = 0,1,2…

cos a = 0, sin а = 1, то

х²/А² + у² /В² = 1, рис. 5.

Траектория результирующего колебания - эллипс, оси которого совпадают с осями координат.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различ­ны, замкнутые траектории, описываемые колеблющейся точкой, довольно сложны и называются фигурами Лиссажу. Вид этих кривых зависит от соотношения ампли­туд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

Рисунок 5 – Траектория результирующего колебания - эллипс

На рисунке 6 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева, по вертикали) и разностей фаз указаны вверху, по горизонтали; разность фаз принимается равной φ ). Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношения частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу – широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

Риунок 6 – Таблица фигуры Лиссажу для различных соотношений частот и разностей фаз

Для этого надо провести на фигуре Лиссажу две парал­лельные осям координат прямые (не проходящие через точки пересечения фигуры Лиссажу). Отношение числа точек пересечения прямой, параллельной оси у, n_у к числу точек пересечения прямой, параллельной оси х, n_х c фигурой Лиссажу даст отношение частот, т.е. n_у / n_х =V_у/V_х .

п_х =2, n_v =4

Рисунок 7 – Примеры определения неизвестной частоты

Прямые проведены через точки пересечения фигуры Лиссажу, это неверно.

II Методика исследования сложения колебаний

Электронный осциллограф – прибор предназначенный для наблюдения, измерения и записи, быстро изменяющихся во времени разнообразных электрических процессов. Электронный осциллограф позволяет− наблюдать колебания переменного тока и напряжения, измерять напряжение, силу тока, частоту, разность фаз переменного токов, а также малые промежутки времени.

Основными частями осциллографа являются: электрон­но-лучевая трубка, усилители вертикального и горизонталь­ного отклонения луча, блок развертки, блок питания.

В работе с помощью осциллографа производится сложение переменного напряжения, результи­рующее колебание высвечивается на экране осциллографа.

Рисунок 8 – Блок-схема осциллографа

Если на пластины конденсаторов не подается напряжение, пучок электронов, вылетающих с катода, не отклоняется и попадает в центр экрана. Если на верти­кально отклоняющие пластины "у" подать переменное напряжение, то пучок элек­тронов будет отклоняться к верхней или нижней пластине - на экране осциллографа будет прямая, длина которой соответствует двум амплитудам переменного напря­жения.

Чтобы преобразовать прямую линию в синусоидальную, на горизонтально откло­няющие пластины подается пилообразное напряжение (развертка).

Рисунок 9 – Пилообразное напряжение на горизонтально откло­няющих пластинах

На экране будет синусоидальная кривая.

Рисунок 10 – Наблюдаемая на экране синусоидальная кривая

Упражнение 1

На стенде собрана схема:

Рисунок 11 – Схема суммирования напряжений

Подаваемое переменное напряжение равно векторной сумме напряжений на сопротивлениях R и Z.

Поочередно подавая напряжения U_R, U_z, U_R+Z на пластины "у" можно из­мерить амплитуды А₁, А₂, А .

Упражнение 2

В упражнении 2 на вертикально отклоняющие пластины "у" подается напря­жение с двух генераторов, а на горизонтально отклоняющие пластины "х" - пило­образное напряжение (развертка). На экране электронный пучок описывает сину­соидальные колебания с изменяющейся амплитудой.

Рисунок 12 – Схема получения фигур Лиссажу подачей напряжения с двух генераторов

В упражнении 3 на вертикально отклоняющие пластины "у" и на горизон­тально отклоняющие пластины "х" подается напряжение с двух генераторов. Элек­тронный луч будет описывать сложные фигуры Лиссажу.