2. Умова існування від’ємної температури в прямозонних напівпровідниках

Відмінною рисою напівпровідника є те, що в ньому взаємодіяти з електромагнітним випромінюванням можуть не тільки два вузьких енергетичних рівні (як у випадку лазерів на іонних кристалах і стеклах), але і цілий спектр енергетичних рівнів.

Розглянемо процес підсилення електромагнітного випромінювання частотою  (фотон з енергією h) у випадку міжзонних переходів у прямозонному напівпровіднику. На рис. 2 наведені два енергетичних стани: один 2 в зоні провідності, другий 1 –у валентній зоні; відстань між якими за частотою дорівнює . Уведемо функцію розподілу електронів за енергіями f(E_i), а число фотонів з енергією h в напівпровіднику позначимо . Тоді для зміни числа фотонів за рахунок взаємодії тільки з станами 2, 1 можна написати наступне рівняння:

, (13)

д е _с(Е₂) і _υ(Е₁) – густини станів у зоні провідності і валентній зоні; f_с(Е₂) і f_υ(Е₁) – функції розподілу електронів і дірок за енергіями.

В рівнянні (13) швидкість зміни числа фотонів визначається швидкістю поступлення фотонів в результаті індукованого випромінювання (перший член правої частини зі знаком “+”) і швидкістю поглинання фотонів в напівпровіднику (другий член правої частини зі знаком “”). Швидкість зміни числа фотонів за рахунок індукованого випромінювання для переходу 2  1 пропорційна імовірності заселення стану 2 в зоні провідності електроном f_с(Е₂) , імовірності відсутності електрона в стані 1 у валентній зоні 1- f_υ(Е₁) , густинам станів рівнів 2 і 1, тобто _с(Е₂) і _υ(Е₁), і числу фотонів на частоті ( ). Інакше кажучи, швидкість зміни числа фотонів за рахунок індукованого випромінювання пропорційна добутку . Швидкість зміни числа фотонів за рахунок поглинання (перехід 1  2) пропорційна імовірності находження електрона у стані 2 в зоні провідності , густині стані _υ(E₁) i _с(Е₂) і числу фотонів , тобто пропорційна добутку .

У рівнянні (13) кожний член правої частини має також множник пропорційний , однаковий для обох членів.

Умова того, що на переході 2  1 напівпровідник підсилює випромінювання, яке проходить через нього, така > 0. Ця умова приймає вигляд:

> 0, (14)

який можна представити нерівністю:

> 0, (15)

або

> 0 (16)

На рис.2 показаний і другий перехід (2^/  1^/), для якого відстань за частотою між рівнями також дорівнює . Якщо розглядати підсилення електромагнітного поля тільки на цьому переході, то умову підсилення можна записати у вигляді нерівності, аналогічній (15).

Проте необхідно врахувати, що в напівпровіднику в процесі взаємодії з електромагнітним випромінюванням частотою  може приймати участь велике число станів у зоні провідності і валентній зоні. Тоді в правій частині рівняння (13) необхідно провести інтегрування за всіма станами і та j, для яких відстань за частотою  (на рис. 2 показані тільки дві пари станів). Якщо врахувати, що множник пропорційності , входить у праву частину рівняння (13), однаковий для всіх пар станів і, j , то замість правої частини рівняння (10) одержимо:

. (17)

Очевидно, що для підсилення електромагнітного випромінювання напівпровідником, як це випливає із (17), необхідно, щоб

> 0. (18)

Умова (18) може виконуватися і в тому випадку коли для деяких пар станів умова (15) не виконується. Якщо ж умова (15) виконується для всіх пар станів, за якими здійснюється інтегрування, то умова (18) тим більше виконується.

Відомо, що функція розподілу f(E) електронів в напівпровіднику за власними станами при тепловій рівновазі визначається розподілом Фермі-Дірака:

, (19)

де E – енергія власного стану; E_F – енергія Фермі; k – стала Больцмана; Т – абсолютна температура.

Використовуючи розподіл (19) покажемо, що умову (16) можна розглядати як умову існування від’ємної температури між станами 2 і 1. Дійсно, нехай стан 2 належить до зони провідності, а стан 1 – до валентної зони (E₂ > E₁). Тоді, використовуючи розподіл (19), умову (17) можна записати у вигляді:

> 0. (20)

Щоб ця умова виконувалась, необхідно щоб другий член в круглих дужках був менший за перший. Отже, величина повинна бути більша за одиницю. Так як E₁ – E₂ < 0, то це може бути лише при Т < 0 . Тоді

> 0 і > 1 (21)

Підкреслимо ще раз, говорячи про умови (16) і (19), що створення від’ємної температури для всієї сукупності станів приводить до автоматичного виконання умови підсилення електромагнітного випромінювання частотою  напівпровідником. Проте підсилення в напівпровіднику може здійснюватись і тоді, коли з випромінюванням частотою  взаємодіють не тільки стани, між якими існує від’ємна температура, але й стани, які характеризуються додатною температурою. В цьому і полягає принципова відмінність між напівпровідниками та іншими активними середовищами.

Розглянемо напівпровідниковий матеріал в якому створено нерівноважний розподіл носіїв. Внаслідок сильної взаємодії з граткою розподіли електронів і дірок взяті окремо, швидко приходять в стан теплової рівноваги з кристалічною граткою, але рівновага між електронами і дірками порушена. У цьому випадку розподіл носіїв за енергіями, як і при рівноважному розподілі, за звичай теж можна описувати розподілом Фермі-Дірака, але замість рівня Фермі E_F необхідно ввести два різних квазірівні Фермі: - для електронів і - для дірок.

Тоді функції розподілу електронів у зоні провідності f_c(E) і у валентній зоні f_υ(E) набувають вигляду:

, , (22)

а умова існування від’ємної температури (17) виконується , якщо

< або - > E_c– E_υ. (23)

Енергія випромінюваних фотонів h в прямозонному напівпровіднику дорівнює відстані між розглядуваними станами в зонах h = E_c – E_υ. Тому умовою існування від’ємної температури в прямозонному напівпровіднику при міжзонних переходах є нерівність:

– > h. (24)

Так як у випадку між зонних переходів мінімальна енергія випромінювального фотона дорівнює ширині забороненої зони (E_g), то умова (24) може бути записана так:

– > E_g (25)

Ця умова визначає мінімальну відстань між квазірівнями Фермі, при якій в напівпровіднику може виникати від’ємна температура. Якщо електронний квазірівень Фермі лежить в зоні провідності, а дірковий у валентній зоні, то відстань між ними більша за ширину забороненої зони, і в напівпровіднику виникає від’ємна температура. Таке розташування квазірівнів Фермі реалізується у випадку інжекції носіїв заряду через вироджений p-n-перехід.

Отже, при прямих міжзонних переходах основною умовою інверсної заселеності у напівпровідниках є вимога, щоб відстань між квазірівнями Фермі електронів і дірок була більшою за величину забороненої зони.