7. Преобразование и сложение скоростей

Рассмотрим движение некоторой частицы. Её скорость в системе отсчета определяется выражениями:

. (6.16)

Аналогичные выражения справедливы, естественно, и в системе .

Из преобразований Лоренца вытекают соотношения:

; = ; ; (6.17)

Тогда для составляющих скорости в имеем:

. (6.18)

. (6.19)

. (6.20)

В соотношениях (6.18) - (6.20) составляющая скорости вдоль оси на первый взгляд имеет привилегированное положение. Однако это в действительности есть только следствие специального выбора ориентации осей рассматриваемых систем отсчета.

Если тело движется вдоль оси , то его скорость совпадает с проекцией на эту ось, и закон сложения скоростей имеет вид:

. (6.21)

Допустим что в системе движется частица с . Тогда в системе отсчета , неподвижной, ее скорость будет равна:

. (6.22)

в соответствии с постулатом о постоянстве с.

8. Релятивистское выражение для импульса

Законы Ньютона и вытекающий из них закон сохранения импульса инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея и неинвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца. Оказалось, однако, что можно найти такое выражение для импульса, при использовании которого импульс оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, а закон сохранения импульса выполнялся во всех инерциальных системах отсчета. Искомое выражение имеет вид:

. (6.23)

Масса в (21) есть инвариантная величина, не зависящая от скорости движения тела, которая называется массой покоя частицы.

Обычно кроме массы покоя рассматривают релятивистскую массу или массу движения, которая по определению:

. (6.24)

Тогда выражение для импульса принимает классический вид:

.

9. Релятивистское выражение для энергии

Аналогично тому, как мы это делали при получении формулы можно и в релятивистской механике приравнять работу внешних сил изменению кинетической энергии частицы. При этом для кинетической энергии получается выражение:

(6.25)

- скорость движения частицы с массой покоя _. При кинетическая энергия должна обращаться в нуль. Следовательно, константа в (6.25) равна – , и для кинетической энергии справедлива формула:

(6.26)

Казалось бы, что свободной частице, движущейся со скоростью , следует приписать полную энергию (6.26). Но оказывается, что сумма величин типа (6.26) при упругих столкновениях частиц не сохраняется. Это связано с тем, что свободная частица кроме кинетической энергии (6.26) обладает энергией покоя

. (6.27)

Соответственно полная энергия частицы оказывается равной

. (6.28)

В случае сложного тела полная энергия включает в себя, кроме энергий покоя составляющих частиц, кинетическую энергию их движения относительно центра масс и потенциальную энергию взаимодействия частиц между собой.

Из выражений (6.23) и (6.28) вытекает связь между энергией и импульсом: и наоборот (6.29)

10. Взаимосвязь массы и энергии

Воспользовавшись понятием релятивистской массы, полную энергию частицы можно представить в виде

(6.30)

Следовательно, релятивистская масса и энергия тела всегда пропорциональны. Всякое изменение энергии тела на ΔЕ влечет соответствующее изменение его релятивистской массы на так, что

. (6.31)

Соотношение (6.31) выражает закон взаимосвязи релятивистской массы и энергии. Именно этот закон позволяет рассчитывать энергию, выделяющуюся при различных ядерных реакциях.