Векторные диаграммы. Вынужденные колебания.
Р
ешение
задачи сложения колебаний и некоторых
других задач значительно упрощается,
если каждое из колебаний изобразить
вектором плоскости. Колебание
при этом изображается вектором
,
модуль которого
равен амплитуде колебания, а угол,
образованный вектором с осью
- начальной фазе (рисунок 5.5). Полученная
таким образом схема называется векторной
диаграммой.
В основе метода векторных диаграмм
лежит тот факт, что при вращении вектора
вокруг точки «О» в плоскости рисунка
проекция его конца совершает колебание
.
Использование этого метода представления
колебаний особенно эффективно при
сложении колебаний одинаковой частоты.
Сложение
колебаний оказывается эквивалентным
сложению векторов.
Если
складываются два колебания
и
(рисунок 5.6),
то амплитуда результирующего колебания
находится по формуле:
,
(5.33)
а его фаза – из условия
,
(5.34)
Вынужденные колебания
Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний (5.9):
Это уравнение является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Его решение равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Предположим, что это частное решение имеет вид:
. (5.35)
Наша задача сводится теперь к нахождению параметров колебания (5.35), т.е. частоты, амплитуды и начальной фазы. С этой целью построим векторную диаграмму колебаний, входящих в (5.9), геометрически сложим их и найдем значения параметров, удовлетворяющих уравнению (5.9).
Найдем первую и вторую производные по времени от (5.35):
(5.36)
(5.37)
Подставим
выражения
из (5.35
5.37)
в уравнение (5.9):
(5.38)
Для
проведения сложения колебаний, входящих
в (5.38), построим их векторную диаграмму.
Примем, что колебание
изображается горизонтальным вектором
с модулем
,
направленным вправо (аналогично оси
Ох).
Тогда колебание, соответствующее
скорости, с амплитудой
изобразим вектором, направленным вверх,
а колебание, соответствующее ускорению,
с амплитудой
вектором, направленным влево.
Из диаграммы видно, что уравнение (5.38) выполняется, если (теорема Пифагора!)
. (5.39)
Отсюда находим, что амплитуда вынужденного колебания определяется соотношением:
. (5.40)
Начальная фаза частного решения (5.35) удовлетворяет условию:
. (5.41)
Это означает, что смещение при вынужденных колебаниях по фазе не совпадает с вынуждающей силой. Важно отметить, что на частоте собственных колебаний знаменатель в выражении (5.41) обращается в нуль. Это означает, что сдвиг фаз достигает значения (косинус в знаменателе обращается в нуль).
Таким образом, колебание, описываемое выражением (5.35) с амплитудой и начальной фазой , определяемыми (5.40) и (5.41) является частным решением дифференциального уравнения вынужденных колебаний (5.40):
. (5.42)
Однако решением уравнения вынужденных колебаний (5.9) является сумма частного решения (5.42) и общего решения однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению.
Однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (5.9), является уравнение (5.8):
Решение уравнения (5.8) мы уже рассмотрели (5.28):
(5.28)
Но функция (5.28) быстро убывает с течением времени, поэтому соответствующее слагаемое в решении уравнения (5.9) существенно только в начале колебаний. В дальнейшем им можно пренебречь, и считать решением (5.9) выражение (5.42).
Поэтому можно утверждать, что вынужденные колебания происходят на частоте вынуждающей силы.