2. Векторы и действия с ними

Многие физические величины (перемещение, скорость, сила, и т.д.) являются векторными, поэтому твердое знание основных сведений о векторах и действиях с ними является совершенно необходимой предпосылкой успешного изучения курса общей физики. Перечислим основные сведения о векторах, необходимые для дальнейшего:

Определение вектора. Модуль вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор (орт). Проекция вектора на заданное направление. Выражение вектора через его проекции на координатные оси.

Компоненты вектора. Радиус-вектор. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение векторов.

В качестве примера действий с векторами рассмотрим производную по времени единичного вектора , задающего направление вектора . Единичный вектор по определению имеет постоянный модуль, а значит изменяться может только по направлению.

Д опустим, что за очень малый промежуток времени вектор , а вместе с ним и орт поворачивается на угол . В результате получает приращение = , направление которого задается ортом этого приращения .

При малом (и, соответственно, ) орт приращения вектора , т.е. вектор , можно считать практически перпендикулярным вектору , а вектор – катетом прямоугольного треугольника, противолежащим углу . Тогда модуль приращения орта ,

. (1.1)

(Гипотенуза треугольника – вектор имеет единичную длину (ведь это единичный вектор!), а при малых (– проверьте на калькуляторе, если угол выражать в радианах!).

Таким образом, представив в виде произведения его модуля на орт приращения , можем записать (а так можно представить любой вектор!):

(1.2)

Необходимо учесть, что при орт поворачивается и в пределе совпадает по направлению с ортом перпендикуляра к вектору , направленным в сторону поворота , как это показано на рисунке 1. (Вектор лежит в той плоскости, в которой поворачивается вектор ). Тогда производная по времени орта может быть представлена в виде:

. (1.3)

Забегая вперед, отметим, что по смыслу представляет собой угловую скорость вращения вектора .

3. Скорость материальной точки

Предварительно сформулируем необходимые определения (см. рисунок 1.2):

• Т раекторией материальной точки будем называть воображаемую линию, вдоль которой движется частица. (Очевидно, что траектория – это, как и сама материальная точка, воображаемый объект, модель.)

• Путь, пройденный материальной точкой – скалярная величина, равная расстоянию, отсчитанному вдоль траектории при движении частицы из некоторой точки 1 в точку 2, .

• П

  Рисунок 1.2.

  еремещение в результате движения из точки 1 в точку 2 – вектор , проведенный из точки 1 в 2 траектории. Очевидно, что перемещение . С другой стороны разность конечного и начального значения радиус-вектора есть его приращение: . Поэтому можно считать, что можно считать, что перемещение представляет собой приращение радиус-вектора.

Движение частицы называется равномерным, если в любые равные промежутки времени частца проходит одинаковые пути (независимо от формы траектории!).

Важнейшим понятием кинематики является скорость материальной точки. На качественном уровне под скоростью в физике понимают векторную величину, характеризующую быстроту перемеще-ния частицы по траектории и направление, в котором движется частица.

На бытовом уровне скорость можно найти, разделив путь, пройденный телом за промежуток времени , на величину этого промежутка. Такой расчет _{дает, очевидно, приближенное значение скорости, а о направлении скорости вообще ничего не позволяет сказать.}

Ч тобы дать более строгое определение скорости поступим следующим образом: разобьем мысленно траекторию на участки , кото­рые частица проходит за бесконечно малые промежутки времени (рисунок 1.3.). Каждому участку соответствует перемещение за соответствующий . Для бесконечно малого можно утверждать, что модуль перемещения равен пути точки:

, (1.4)

и траекторию можно считать состоящей из элементов , направленных в сторону перемещения частицы и совпадающих с . Можно считать, что за бесконечно малый движение тела не меняется. Отношение дает векторную характеристику быстроты движения точки, модуль которой совпадает с традиционным представлением о скорости.

Поэтому по определению скоростью частицы называется производная ее радиус-вектора по времени:

(1.5)

Поскольку модуль приращения радиус-вектора за время совпадает по формуле (1.4) с элементом траектории , то в каждой точке траектории вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения частицы. Соответственно орт вектора скорости совпадает с ортом касательной к траектории в данной точке, направленным в сторону движения частицы. Орт касательной к траектории принято обозначать . Поэтому для вектора скорости в данной точке траектории справедливо соотношение:

(т.е. ) (1.6)

Учитывая, что выражение для радиус-вектора через его проекции на оси координат имеет вид , для вектора скорости можно записать представление через его проекции на оси координат :

, (1.7)

Как следует из соотношения (1.7), проекции вектора скорости на оси координат равны производным по времени проекций радиус-вектора, а составляющие вектора скорости по осям координат получаются умножением соответствующих производных на орты осей системы координат:

(1.8)

(Напомним: проекции – это алгебраические скалярные величины, составляющие – это векторы, которые в сумме дают данный вектор).

В соответствии со своим определением вектор скорости характеризует быстроту изменения радус-вектора частицы. Радус-вектор может изменяться по модулю и по направлению. Следует предположить, что вектор скорости всегда можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых характеризует изменение только по модулю, а второй только по направлению. Действительно, как и любой вектор, можно представить в виде:

. (1.9)

Находя производную по времени от этого выражения, получаем:

= , (1.10)

Составляющая направлена вдоль радиус вектора, а значит характерзует быстроту его изменения по мудулю. Направление второй составляющей, , определяется производной орта радиус-вектора: . Как мы уже установили, производная орта определяется выражением (1.3)

. (1.11)

где – угловая скорость поворота радиус-вектора, а - перпендикулярный к нему орт, направленный в сторону поворота. Следовательно, составляющая перпендикулярна радиус-вектору и характеризует быстроту его изменения по направлению. Модуль скорости связан с составляющими вектора скорости соотношенем:

. (1.12)

При движении точки изменяется ее радус-вектор и путь, пройденный ею путь от некоторой исходной точки. Если производная по времени от радиус-вектора дает по определению скорость частицы, то какой смысл имеет производная пути по времени?! Чтобы ответить на этот вопрос необходимо вспомнить о том, что модуль приращения радиус-вектора совпадает с элементом траектории . Тогда модуль соотношения, определяющего скорость,

. (1.13)

Таким образом, производная пути по времени дает модуль вектора скорости:

, (1.14)