4. Энергия гармонических колебаний.

К вазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия гармонического колебания остается постоянной, хотя в процессе колебаний происходит непрерывный переход кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Обоснуем это утверждение. Действительно, при максимальном отклонении вся энергия переходит в потенциальную:

(5.19)

При прохождении положения равновесия максимальна кинетическая:

(5.20)

Сравнивая (5.19) и (5.20), приходим к важному соотношению:

(5.21)

Во времени кинетическая энергия изменяется по закону:

(5.22)

а потенциальная -

(5.23)

Сложив уравнения (5.22) и (5.23) с учетом соотношения (5.21), легко видеть, что

(5.24) Таким образом, полная энергия при гармонических колебаниях остается постоянной (см. рисунок 5.2):

(5.25)

Воспользуемся тригонометрическими соотношениями:

и

и преобразуем (5.22) и (5.23):

(5.26)

(5.27)

Сравнивая (5.26) и (5.27), видим что:

1. и изменяются в противофазе (см. рисунок 5.2);

2. частота изменения энергий вдвое превосходит частоту смещения из положения равновесия. Действительно, в течение каждого периода колебания кинетическая и потенциальная энергия дважды достигают своего максимального значения.

5. Математический и физический маятники.

Изучить самостоятельно в доступных учебниках.

6. З атухающие колебания.

Рассмотрим колебания, описываемые уравнением (5.8) – свободные колебания. Воспользовавшись математическим формализмом решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка (аналогично тому, как мы сделали при решении уравнения гармонических колебаний (5.5)), можно получить решение уравнения (5.8) , которое имеет вид:

(5.28)

где и - константы, которые определяются начальными условиями движения в каждом конкретном случае, а частота , с которой происходят колебания –частота свободных колебаний

(5.29)

Обратите внимание на то, что частота свободных колебаний меньше частоты собственных, и различие между ними возрастает с ростом затухания!

О чевидно, что в этом случае система совершает колебания, близкие к гармоническим, с амплитудой , зависящей от времени. Примерный вид свободных колебаний показан на рисунке 5.3. Важно понимать, что колебания в этом случае являются ангармоничесчкими, т.е. негармоническими, поскольку не описываются гармоническим законом.

Скорость затухания (быстрота уменьшения амплитуды) колебаний определяется величиной , называемой коэффициентом затухания. Его физический смысл заключается в том, что это величина, обратная времени , в течение которого амплитуда колебания уменьшается в раз. Действительно, уменьшение амплитуды в раз означает, что (множитель уменьшился в раз). Поэтому т.е. .

Наибольший практический интерес представляет ситуация, когда затухание не слишком велико: . В этом случае частота и период свободных колебаний мало отличаются от частоты и периода собственных колебаний. При этом с ростом затухания период свободных колебаний возрастает:

(5.30)

Для характеристики степени затухания колебаний, кроме коэффициента затухания, используется также логарифмический декремент затухания :

. (5.31)

Его физический смысл заключается в том, что обратен числу колебаний , совершаемых за время, пока амплитуда колебаний уменьшается в раз: .

Для характеристики колебательной системы часто используется величина

, (5.32)

называемая добротностью колебательной системы. Эта величина пропорциональна числу колебаний , совершаемых за время, пока амплитуда колебаний уменьшается в раз.

Колебательные системы с очень большим затуханием также встречаются на практике. При увеличении затухания частота колебаний (5.29) проходит через нуль и становится мнимой. Соответственно период колебаний с ростом затухания возрастает до бесконечности и также становится мнимым. Нулевая частота означает отсутствие колебаний, точнее бесконечность периода колебаний.

М атематически это соответствует тому, что решение уравнения (5.8) оказывается сумой двух вещественных экспонент, убывающих со временем. Физически это означает, что движение системы носит апериодический характер, т.е. система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. При этом возможны два способа (рисунок 5.4) такого движения, отличающиеся начальными условиями: при отклонении от положения и предоставлении системы самой себе она плавно стремится к положению равновесия. Если системе сообщить дополнительную энергию, толкнув ее после отклонения к положению равновесия, то она может пересечь положение равновесия, но так и не завершит полного колебания.