Кинетическая энергия при плоском движении
Рассмотрим, как вычислить кинетическую энергию тела, если оно одновременно участвует в поступательном и вращательном движении – например, качение колеса по плоскости.
Как мы знаем, при плоском движении тела скорость некоторой точки тела определяется формулой
(4.26)
где
-
скорость поступательного движения
точки «0», принятой за начало отсчета
для
,
-
радиус-вектор частицы с массой
по отношению к точке «0». Тогда кинетическая
энергия i-той
частицы
(4.27)
Учтем,
что модуль
,
-
расстояние i-той
точки до оси вращения и, соответственно
.
Воспользовавшись циклической перестановкой
сомножителей в смешенном произведении,
получим
.
Тогда из (4.27) получим:
(4.28)
А для кинетической энергии всего тела
(4.29)
Теперь учтем, что
,
,
а
.
Тогда
(4.30)
Если
в качестве «0» взять центр масс, то
,
и
(4.31)
Таким образом, если рассматривать вращение тела относительно оси, проходящей через центр масс, то его кинетическая энергия распадается на два слагаемых. Одно из них описывает кинетическую энергию, обусловленную поступательным движением, другое – вращательным.
Гироскопы.
Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с БОЛЬШОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ вокруг оси симметрии.
В
этом случае момент импульса гироскопа
.
Если мы будем поворачивать ось гироскопа
с некоторой
в пространстве, то
,
вообще говоря, не совпадает с осью
гироскопа. Однако обычно
и можно считать, что
направлен по оси гироскопа.
При
попытках повернуть ось гироскопа
возникает гироскопический
эффект: под
действием сил, стремящихся повернуть
ось гироскопа вокруг оси
декартовой
системы координат, гироскоп поворачивается
вокруг оси
.
Т
акое
поведение объясняется законами динамики
вращательного движения. Действительно
момент пары
сил,
,
направленных вдоль
,
направлен
параллельно
.
Под действием этого момента сил момент
импульса гироскопа
за время
получает приращение
направленное вдоль
.
Следовательно, ось гироскопа приблизится
к направлению –
.
Если момент будет продолжать действовать, то ось гироскопа будет поворачиваться, приближаясь к направлению момента сил до тех пор, пока эти направления не совпадут. Дальней шее действие этого момента сил будет приводить только к увеличению момента импульса по модулю.
Гироскопический эффект лежит в основе действия гирокомпаса, который представляет собой гироскоп, точки опоры которого закреплены так, что гироскоп может поворачиваться вокруг вертикальной оси. На раскрученный гироскоп через точки опоры действует момент сил, вовлекающий его в суточное вращение Земли. При длительном воздействии этого момента, ось гироскопа устанавливается параллельно оси вращения Земли, т.е. в меридиональной плоскости, и позволяет определить направление на географический (!) полюс.
Если
гироскоп находится в поле силы тяжести
и его ось составляет с вертикалью угол
,
то к гироскопу оказывается приложенным
момент сил
.
Он создается силой тяжести
,
которая приложена к центру масс гироскопа
и реакцией опоры
,
действующей в точке опоры
.
Раскрученный гироскоп не падает, как
«юла»! Поэтому эти силы равны и
противоположны по направлению. Момент
сил
направлен перпендикулярно плоскости,
в которой лежат силы и момент импульса
гироскопа в некоторый исходный момент
времени. Если расстояние от точки опоры
до центра масс гироскопа равно
,
то модуль этого момента сил
(4.32)
Под
действием момента сил
момент импульса
гироскопа получит приращение
,
а ось гироскопа за
повернется на угол
.
Следовательно, ось гироскопа будет
совершать вращательное движение вокруг
вертикали с угловой скоростью:
(4.33)
Такое движение называется прецессией. Соотношение (4.33) дает угловую скорость прецессии. Очевидно, что чем больше момент импульса гироскопа , т.е. чем с большей угловой скоростью он вращается вокруг своей оси, тем меньше будет угловая скорость прецессии. (Вспомните процесс остановки «юлы».)