3. Момент инерции

Момент инерции, аналогично массе тела, в соответствии с его определением (4.11) является величиной аддитивной и может считаться характеристикой тела, независимо от того, вращается оно или нет.

В значительной степени момент инерции зависит от распределения массы в пределах тела, которое характеризуют плотностью тела:

(4.17)

Под в (4.17) понимается физически бесконечно малый объем, т.е. настолько малый, что все макроскопические свойства в его пределах можно считать постоянным, но достаточно большой, чтобы не проявлялась дискретностью строения вещества.

Соответственно, точная формула для вычисления получается из (4.11) и имеет вид:

. (4.18)

По сравнению с (4.11) в (4.18) заменены на бесконечно малые , находящиеся от оси вращения на расстоянии .

В качестве примера использования формулы (4.18) рассмотрим вычисление момента инерции однородного диска радиуса относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр. Разобьем мысленно диск (рисунок 4.5.) на кольцевые слои с радиусом и толщиной , толщина диска равна b. Объем кольцевого слоя

(4.19)

Его масса . Все точки кольцевого слоя находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, поэтому его момент инерции

. (4.20)

Момент инерции всего диска равен сумме моментов инерции кольцевых слоев:

. (4.21)

А налогично можно рассчитать моменты других тел с правильной геометрической формой. Для шара: , для тонкого однородного стержня длинной :

, для тонкого диска, относительно оси, лежащей в его плоскости и проходящей через центр: .

Вычисление моментов инерции для тел сложной формы значительно облегчается при использовании теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями d: .

Например, при вращении сложного тела, по форме напоминающего гантель (рисунок 4.7) вокруг оси «ОО» проходящей через центр одного из шаров, его момент инерции можно представить состоящим из трех составляющих: момента инерции левого шара, стержня и правого шара. Последние в свою очередь по теореме Штейнера состоят из двух частей – момента инерции относительно оси проходящей через центр масс и произведения массы соответствующего тела на квадрат расстояния между осями.

4. Кинетическая энергия и работа при вращательном движении тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью вокруг некоторой оси. Считая тело состоящим из жестко связанных частиц, для кинетической энергия некоторой частицы массой , движущейся, вследствие вращения тела, с линейной скоростью можем утверждать:

(4.20)

Учитывая, что линейная скорость -той частицы , для кинетической энергии частицы находим:

(4.21)

Кинетическая энергия тела, обусловленная его вращением (!), складывается из кинетических энергий отдельных частиц:

(4.21)

где - момент инерции тела.

Работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет на увеличение его кинетической энергии. Поэтому

, (4.21)

где есть угловое ускорение тела.

Таким образом,

(4.22)

Если внимательно сравнить формулы для вращательного и поступательного движений, то легко установить аналогию величин и формул:

Аналогия величин и соотношений поступательного и вращательного движений
Поступательном движение	Вращательное движение
Путь	Угол поворота
Перемещение	Угол поворота
Скорость	Угловая скорость
Масса	Момент инерции
Импульс	Момент импульса (вокруг оси симметрии)
Сила	Момент силы
Второй закон Ньютона	Основное уравнение динамики вращательного движения
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия
Продолжите самостоятельно	Продолжите самостоятельно