8. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

П ри упругой деформации стержня сила , приложенная к стержню, совершает работу:

(3.50)

Преобразуем это выражение так, чтобы в него вошли параметры деформируемого тела вместо жесткости . Для этого подставим в выражение закона Гука относительную деформацию и механическое напряжение :

. (3.51)

Из (3.51) следует, что

, (3.52)

поэтому можно считать, что . Подставив это значение в формулу для работы (3.50), получим (очевидно, что в нашем случае удлинение стержня и координата его конца равны):

(3.53)

Работа внешней силы идет на увеличение запаса потенциальной энергии деформированного тела: . Если стержень однородный, то его деформация равномерно распределена по объему стержня. Тогда энергию деформации также можно считать равномерно распределенной по объему стержня, с плотностью энергии упругой деформации:

. (3.54)

8. Закон сохранения механической энергии

Рассмотрим теперь общий случай: пусть имеется система из частиц, взаимодействующих между собой посредством консервативных сил, и одновременно находящихся под действием внешних консервативных и неконсервативных сил.

Получим выражение для работы, совершаемой над частицами системы, при перемещении системы из одного положения в другое и одновременном изменении конфигурации системы. Обозначим работу внешних консервативных сил . Эта работа равна убыли потенциальной энергии во внешнем поле сил:

. (3.55)

Для работы внутренних консервативных сил при изменении конфигурации системы справедливо аналогичное выражение:

. (3.56)

Обозначим работу неконсервативных сил . Вспомним, сформулированное нами ранее утверждение: суммарная работа идет на приращение кинетической энергии системы. Тогда можно записать соотношение:

. (3.57)

Подставим в левую часть выражения для работы консервативных сил:

, (3.53)

Или, после перегруппировки слагаемых по индексам,

. (3.54)

Обозначим сумму . Эта сумма, по определению, представляет собой полную механическую энергию системы. Тогда из (3.54) следует, что приращение полной энергии системы

(3.55)

равно работе неконсервативных сил.

В частном случае, при их отсутствии, полная энергия не изменяется:

. (3.56)

Таким образом, полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной. Это утверждение называют законом сохранения механической энергии.

8. Условия равновесия механической системы

Рассмотрим частицу, на которую действуют только консервативные силы. Если в некотором состоянии результирующая сил, действующих на частицу равна нулю, то говорят, что частица находится в состоянии равновесия. В зависимости от последствий незначительного отклонения системы от положения равновесия различают:

• устойчивое равновесие – если возникают силы, возвращающие систему в положение равновесия (рисунок 2.3 – 1);

• неустойчивое равновесие – если возникают силы, удаляющие систему от равновесия (рисунок 2.3 – 2);

• безразличное равновесие – если в новом положении система также оказывается в положении равновесия (рисунок 2.3 – 3).

Р авенство нулю сил, действующих на тело, указывает, в соответствии с соотношением (3.38) , что первая производная потенциальной энергии при перемещении в направлении вывода из положения равновесия равна нулю.

Знак второй производной определяет вид экстремума функции вдоль направления движения тела. Поэтому условия равновесия тела (в случае одномерного движения) можно сформулировать следующим образом:

неустойчивое

устойчивое

устойчивое

безразличное

Рисунок 3.6.