7. Связь потенциальной энергии и силы

Вид функции U (x, y, z) определяет значение силы, действующей на частицу в каждой точке поля. Действительно, при перемещении вдоль оси х на dх над частицей совершается работа:

(3.32)

С другой стороны, эта работа совершается за счет убыли потенциальной энергии, а значит

(3.33)

Приравнивая правые части соотношений

(3.34)

Если при вычислении производной по х две другие координаты считаются постоянными, то такая производная называется частной, и соотношение (21) записывают в виде:

(3.35)

Аналогичным образом находятся две другие компоненты силы: F_у и F_z:

. (3.36)

Тогда для вектора силы, действующей на частицу, можем записать:

(3.37)

Вектор с проекциями, определяемыми некоторой скалярной функцией по правилу , , называется градиентом функции и обозначается или .

Физический смысл градиента заключается в том, что он представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением скорейшего возрастания , а его модуль равен производной , взятой в направлении оси, совпадающей с этим направлением. Если скорость характеризует быстроту изменения величины во времени, то градиент – в пространстве.

Таким образом, можно утверждать, что

(3.38)

8. Потенциальная энергия взаимодействия

Рассмотрим систему из двух взаимодействующих частиц. Ограничимся весьма распространенным случаем, когда силы, с которыми частицы действуют друг на друга, направлены вдоль прямой соединяющей частицы, а их величина зависит только от расстояния между частицами.

Если считать, что первая частица находится в начале координат (т.е. если поместить начало координат в точку, где находится первая частица), то вторую можно считать находящейся в центральном поле, созданном первой, поскольку она находится в условиях, соответствующих определению центрального поля. Силы этого поля являются консервативными, поэтому можно утверждать, что вторая частица обладает потенциальной энергией в поле созданном первой.

Частицы абсолютно равноправны. Поэтому, считая вторую находящейся в начале координат, можем утверждать, что в центральном потенциальном поле, созданном второй частицей, первая обладает потенциальной энергией .

В силу полной симметрии задачи относительно частиц, можно утверждать, что

(3.39)

Для определенности условимся считать, что в начале координат находится первая частица. Положение второй можно характеризовать радиус-вектором , проведенным к ней из начала координат. Тогда для силы, действующей на вторую частицу можно записать выражение:

(3.40)

где – функция расстояния до второй частицы, которая принимает:

– положительные значения в случае притяжения частиц,

– отрицательные значения в случае отталкивания частиц.

(Вектор направлен в сторону отталкивания частиц. Поэтому при притяжении частиц знак «минус» «поворачивает» вектор к первой частице. А при отталкивании отрицательная дает при умножении на «минус» положительные значения.)

Чтобы найти выражение для потенциальной энергии второй частицы в поле, созданном первой, найдем работу , совершаемую силами поля при перемещении второй частицы на . По определению потенциальной энергии, равна убыли , поскольку работа совершается за счет уменьшения потенциальной энергии:

. (3.41)

П определению механической работы

. (3.42)

Но скалярное произведение можно рассматривать как проекцию приращения

на направление орта , которая равна приращению расстояния между частицами

. (3.43)

Следовательно

. (3.44)

Интегрируя соотношение (3.44), можно найти выражение для потенциальной энергии второй частицы по известной функции .

Эта функция может иметь различный вид в конкретных задачах, однако наибольший практический интерес представляет случай, когда она имеет вид:

(3.45)

(Вспомните закон всемирного тяготения или закон Кулона – вида (3.45) охватывает и один и другой. )

В этом конкретном случае (т.е. при выполнении соотношения (3.45))

. (3.46)

Интегрируя (3.46), найдем:

. (3.47)

Как и следовало ожидать, потенциальная энергия оказалась определенной с точностью до произвольной константы интегрирования.

Рассуждая аналогичным образом, но поместив начало координат в точку, где находится вторая частица, для потенциальной энергии первой частицы в поле, созданном второй, можем получить соотношение, симметричное (3.46):

. (3.48)

Это вполне естественный вывод: ведь, по сути дела, речь идет об одной и той же энергии – энергии взаимодействия частиц . Поскольку частицы абсолютно равноправны, то выражение для энергии взаимодействия принято записывать в симметричном виде:

. (3.49)

Можно доказать, что потенциальная энергия взаимодействия системы из

частиц, между которыми действуют только консервативные силы, равна полусумме энергий попарных взаимодействий:

. (3.49)

Эта энергия зависит только от взаимного расположения частиц – – другими словами от конфигурации системы. Если конфигурация не изменяется, то остается постоянной, т.е. внутренние силы работы не совершают.

Отметим, что, рассматривая сплошное (не абсолютно твердое, а упруго деформируемое) тело, как систему взаимодействующих частиц, можно рассматривать потенциальную энергию упругой деформации как энергию взаимодействия образующих тело частиц.