Примеры решения типовых задач

Пример. Решить экстраполяционным методом Адамса уравнение:

(33)

с начальным условием y(1) = 2.70 на интервале [1; 2.25], принимая h = 0.25 . В качестве разгонных точек x₀, x₁, x₂, x₃ и соответствующих решений y₀, y₁, y₂, y₃ для реализации метода Адамса взять значения, полученные методом Эйлера в точках: x₁, x₂, x₃. Все вычисления вести с тремя верными в узком смысле знаками.

Решение. Вычислительная схема экстраполяционного метода Адамса определяется выражением:

(10)

Поскольку на основе разгонных данных для функции f (x_i, y_i) можно вычислить только конечные разности до третьего порядка включительно: f_i; ²f_i; ³f_i, то для решения данной задачи формула (10) перепишется в виде:

Далее в соответствии с условием задачи по методу Эйлера на интервале [1; 1.75] с шагом h = 0.25 необходимо найти приближённые значения решения y₁, y₂, y₃ данного уравнения. Для этого используется численная схема, определяемая уравнением:

, i = 0, 1, …, n

Очевидно, что для получения необходимых разгонных данных метода Адамса: y₁  y(1.25); y₂  y(1.5); y₃  y(1.75) по методу Эйлера необходимо реализовать трёхшаговый вычислительный процесс.

Шаг 1:

В результате находим:

Шаг 2:

В результате находим:

Шаг 3:

В результате находим:

Таким образом, в качестве разгонных значений для метода Адамса имеем следующие приближённые значения решения:

x₀ = 1, x₁ = 1.25, x₂ = 1.5, x_3. = 1.75,

y₀ = 2.70; y₁ = 2.36; y₂ = 2.01; y₃ = 1.67;

Далее в соответствии с требованиями метода Адамса на основе полученных расходных данных вычислим приближённые значения функции:

f (x_i, y_i) = i = 0, 1, 2, 3;

f(x₀, y₀) = f(1.00; 2.70) =  1.35;

f(x₁ y₁) = f(1.25; 2.36) =  1.42;

f(x₂, y₂) = f(1.50; 2.01) =  1.34;

f(x₃, y₃) = f(1.75; 1.67) =  1.19.

Далее для реализации метода Адамса на основе имеющихся данных составим для функции f (x_i, y_i) таблицу конечных разностей:

Таблица 2 Конечные разности функции f (x_i, y_i) i = 0, 1, 2, 3;

i	xi	yi	f i	f i	2f i	3f i
0 1 2 3 4 5	1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25	2.70 2.36 2.01 1.67 1.39 1.14	 1.35  1.42  1.34  1.19  1.04	 0.7 0.08 0.15 0.15	0.15 0.07 0.00	 0.08  0.07

Теперь по формуле при h = 0.25 и i = 3

получим:

и подставляя из таблицы 2 соответствующие значения функции f (x₃, y₃) = f₃ =  1.19 и её конечных разностей: f₂ = 0.15; ²f₁ = 0.07; ³f₀ =  0.08; (которые в таблице 2 подчёркнуты) окончательно получим:

Далее на основе полученного приближённого значения y₄ = 1.39; вычисляем значение f (x₄, y₄) = f(2.00; 1.39) = f₄ =  1.04; и конечные разности f₃ = 0.15; ²f₂ = 0.00; ³f₁ =  0.07; (которые в таблице 2 обведены рамкой) окончательно получим при i = 4:

;

Этот вычислительный пошаговый процесс можно продолжать и далее…

Отметим, что для получения более точных результатов разгонные значения для метода Адамса целесообразно было бы получить более точным методом, например, методом Рунге-Кутта четвёртого порядка. Здесь мы использовали метод Эйлера исключительно из-за его просты.

5. Метод Милна четвёртого порядка.

Ещё одним методом прогноза и коррекции, используемым на практике, является метод Милна, в рамках которого имеется две формулы – первая и вторая формулы Милна, которые используются соответственно для предсказания и уточнения (коррекции) искомого решения y(x) задачи Коши.

5.1 Первая формула Милна – формула предсказания.

Снова строим численный методы решения начальной задачи.

y(x) = f (x, y), x [x₀, b] (1)

y (x₀) = y ₀ (2)

При этом считаем, что в узлах x_i–3, x _i–2, x_i–1, x_i (т.е. в разгонных точках) уже получены приближённые значения функции y(x) и f (x, y(x) ):

yi3  y(xi3), yi2  y(xi2), yi1  y(xi1), yi  y(xi).

fi3 = f (xi3, yi3)  f (xi3, y(xi3) ), fi2 = f (xi2, yi2)  f (xi2 y(xi2) ), fi1 = f (xi1, yi1)  f (xi1, y(xi1) ), fi = f (xi, yi)  f (xi, y(xi) ).

Проинтегрируем уравнение (3) на промежутке [x_i3, x_i+1], содержащем узлы x_i–3, x _i–2, x_i–1, x_i:

(34)

В выражении (34) функцию f (x,y(x)) заменим первым интерполяционным полиномом Ньютона третьей степени P₃(x) с базовой точкой x _i3, построенным по четырём узлам x_i–3, x _i–2, x_i–1, x_i

P₃(x _i3 + qh) = f _i3 + q f _i3 + + . (35)

При подстановке в выражение (34) полинома (35), зависящего от переменной , в интеграле формулы (34) необходимо сделать замену переменной: x  x _i3 + qh; в соответствии с которой:

.

Поэтому в результате выражение (34) перепишется в следующем виде:

Отсюда, выразив конечные разности через значения функции f (x, y):

;

,

получим первую явную формулу (предсказания) Милна четвёртого порядка:

, (36)

которая, очевидно, является экстраполяционной, поскольку делает предсказание решения y (x_i+1) на основе интерполяционного полинома, построенного по узлам x_i–3, x _i–2, x_i–1, x_i. Далее в лекции, полученные по формуле предсказания (36) приближённые значения y_i для искомого решения y(x _i), будем обозначать как .

Оценка шаговой погрешности первой формулы Милна.

Главный член локальной погрешности формулы (36) можно найти при интегрировании первого из неучтённых в (35) слагаемого интерполяционного полинома Ньютона:

Считая значения четвёртых разностей примерно одинаковым в используемой области таблицы конечных разностей функции f_i, опустим индекс у функции f в записи ; в результате получим следующее приближённое представление решения в точке x _i+1 на основе первой формулы Милна:

(37)