4. Предиктор  корректорные методы Адамса.

Предиктор-корректорными методами Адамса (или иначе методами предсказания и уточнения) являются методы, основанные на использовании явных и неявных методов Адамса одного или смежных порядков. Идея построения таких методов состоит в следующем.

На первом этапе построения таких методов по явной формуле (из семейства экстраполяционных методов Адамса) значение решения y(x_i+1) задачи Коши (1), (2) в текущей (расчётной) точке x_i+1 прогнозируется значением y_i+1, т.е. для y(x_i+1) находится его, быть может, достаточно грубое приближение y_i+1  y(x_i+1), выраженное через приближённые значения решения на предыдущих шагах. Данный этап называется получением прогноза для решения y(x_i+1) задачи Коши в узле (x_i+1).

Далее на втором этапе метода в правую часть неявной формулы (из семейства интерполяционных методов Адамса) подставляется значение y_i+1, спрогнозированное для решения y(x_i+1) на первом этапе. В результате получается соотношение для уточнения (т.е. корректировки) значения y_i+1, полученного на этапе прогноза.

Рассмотрим предиктор-корректорные методы Адамса, базирующиеся на паре явного и неявного методов Адамса одинакового порядка.

Обозначим через y^Б_i+1 приближённое значение решения y(x_i+1), полученное по явной экстраполяционной формуле Адамса и составим несколько пар из рассмотренных ранее частых экстраполяционных формул Адамса. Символ «Б» в обозначении решения y^Б_i+1, полученного по явной экстраполяционной формуле Адамса появился из-за того, что группу явных экстраполяционных формул Адамса часто называют методами Адамса - Башфорта.

Группу формул, полученных на основе неявных интерполяционных методов Адамса, часто называют методами Адамса - Моултона. Соответствующее решение будет иногда обозначаться как y^М_i+1.

В соответствии с изложенной схемой построим явные и неявные предиктор-корректорные методы Адамса различного порядка:

Предиктор-корректорные методы первого порядка точности (k = 0) - он же явно-неявный метод Эйлера.

(метод строится на основе явной и неявной формул (11), (21)):

(25)

Предиктор-корректорные методы второго порядка точности (k = 1).

(метод строится на основе явной и неявной формул (12), (22)):

(26)

Предиктор-корректорные методы третьего порядка точности (k = 2)

(метод строится на основе явной и неявной формул (13), (23)):

(27)

Предиктор-корректорные методы четвёртого порядка точности (k = 3)

(метод строится на основе явной и неявной формул (14), (24)):

(28)

Осуществление пошагового контроля погрешности вычислений.

Одним из главных достоинств методов прогноза и корректировки является возможность контролировать при их использовании шаговую погрешность вычислений, осуществляя сравнение двух приближений к решению y(x _i+1), полученных по явной и неявной формулам.

Рассмотрим способ реализации контроля шаговой погрешности вычислений для наиболее употребительного предиктор-корректорного метода Адамса четвёртого порядка точности (28). Для этого вспомним, что подынтегральная функция f(x, y) в выражении (3):

,

из которого получены первая и вторая формулы системы (28) аппроксимировалась соответственно вторыми интерполяционными полиномами Ньютона P₃ (x) и третьей степени:

f(x, y)  P₃(x_i +qh) = f_i + q f_i-1 + + +…

f(x, y)  (x_i+1+qh) = f_i+1 + q f_i + + +…

То есть при получении формул системы (28), которые соответствуют случаю k = 3, из общей формулы для интерполяционных полиномов Ньютона последними (в выражениях для подстановки под интеграл) брались конечные разности третьего порядка (и поскольку в этом случае слагаемые, имеющие четвёртый порядок по переменной q отбрасывались, то полученные в результате формулы (28) имеют четвёртый порядок точности, т.е. их точность (совершаемая при их использовании ошибка) соответствует максимальному порядку отброшенного слагаемого).

Считая, что расчётный шаг h достаточно мал, и поэтому конечные разности с ростом их порядка убывают, можно полагать, что главные части шаговых погрешностей формул четвёртого порядка (28) в соответствии с формулами:

(10)

, (20)

из которых (при k = 3) непосредственно получены первая и вторая формулы системы (28), характеризуются величинами: и .

Таким образом, если через y^Б_i+1 и y^М_i+1 обозначить приближённые значения решения y(x_i+1), полученные по явным и неявным формулам Адамса четвёртого порядка (т.е. по экстраполяционной и интерполяционной формулам (10), (20) соответственно), то можно записать два приближённых представления для решения y(x_i+1):

y(x_i+1)  y^Б_i+1 + (29)

y(x_i+1)  y^М_i+1 (30)

Отсюда следует, что если четвёртые разности функции f (x, y(x)) практически постоянны в используемой части таблицы 1, (а это можно связать с удачным выбором величины шага h при достаточном запасе знаков в значениях f (x_j,y(x_j)) ), то:

Во-первых: значения y^Б_i+1 и y^М_i+1 дают двустороннее приближение к точному решению y(x_i+1) соответственно снизу и сверху.

Во-вторых: через разность между значениями y^Б_i+1 и y^М_i+1 можно оценить точность каждого из них.

Действительно, приравнивая правые части приближённых равенств (29), (30) и отождествляя с (т.е. считая, что все четвёртые разности практически одинаковы), имеем:

y^М_i+1  y^Б_i+1  + = = .

Откуда получаем, что

 (y^М_i+1  y^Б_i+1).

Подставляя данное приближённое равенство в выражение (30), получаем следующее приближённое равенство:

y(x _i+1)  y^М_i+1 (y^М_i+1  y^Б_i+1) = y^М_i+1 (y^М_i+1  y^Б_i+1) (31)

Переписав формулу (31) в виде:

y(x _i+1)  y^М_i+1  (y^М_i+1  y^Б_i+1),

получаем выражение применимое для пошагового контроля точности:

если y^М _i+1  y^Б _i+1< ,

то полагаем, что y(x_i+1)  y^М_i+1 с точностью  и переходим к следующему шагу ( i = i+1), а иначе уменьшаем шаг h и снова подсчитываем y^Б_i+1 и y^М_i+1 .

Другое назначение формулы (31) – это прямое применение её правой части для получения уточнённого значения решения y(x _i+1), т.е. полагаем что:

y(x _i+1)  y^М_i+1 (y^М_i+1  y^Б_i+1). (32)

Обычно на практике контроль точности выполняют на каждом шаге, а к уточнению на основе формулы (32) прибегают только при выводе окончательных результатов.