Начальная задача для обыкновенных дифференциальных уравнений Лекция 24

 Лекция № 24

1. Многошаговые Методы Адамса.

Многошаговые методы Адамса основаны на интегрировании ДУ и последующей замене подынтегральной функции интерполирующим полиномом соответствующего порядка.

Как и раньше, будем строить численные методы решения задачи Коши:

y(x) = f (x,y), x [x₀, b] (1)

y (x₀) = y ₀ (2)

Будем считать, что уже найдено несколько приближённых значений y_j  y(x_j), j = 0,1,2,…, i решения y(x) рассматриваемой задачи Коши на равномерной сетке x_j = x₀ + jh, и нужно получить правило для вычисления очередного значения y_j+1  y(x_j+1). Для вывода таких правил проинтегрируем левую и правую части соотношения (1) на элементарном промежутке [x_i, x_i+1], в результате получим равенство:

(3)

Далее в формуле (3) под интегралом вместо функции f (x, y(x)) берут интерполирующий её полином P_k(x).

Хотя явное выражение функции f (x, y(x)), как функции одной переменной x, вообще говоря, неизвестно, её дискретные приближённые значения f (x_j,y_j)  f (x_j,y(x_j)), обозначаемые в дальнейшем для краткости f _j, при j = 0, 1, 2, …, i, можно считать известными (поскольку, как отмечалось выше, с предыдущих шагов уже найдены приближённые значения y_j  y (x_j), j = 0, 1, 2,…, i для решения y(x)).

Такие точки x_j, j = 0, 1, 2,…, i в которых с предыдущих шагов (на основе других численных методов) найдены приближённые значения y_j  y (x_j), j = 0, 1, 2,…,i решения задачи Коши, называют «разгонными точками» метода Адамса.

Дополняя эти известные значения, пока ещё неизвестным значением f_i+1 = f (x_i+1, y_i+1), для функции f (x_j,y_j) можно построить таблицу конечных разностей (табл. 1), являющуюся основой для построения интерполяционных полиномов k-й степени для интерполяции назад из точек ( x_i, f_i ) и ( x_i+1, f_i+1).

Построим второй интерполяционный полином Ньютона P_k (x) степени k для интерполирования «назад» из узла x_i в начало таблицы 1, т.е. в качестве базового узла выберем узел x_i:

P_k(x) = P_k (x_i +qh) = f_i +q f_i1+ + +…+ (4)

При построении интерполяционного полинома (4) используется восходящая последовательность затонированных k-конечных разностей из табл. 1. При этом интерполяционный полином P_k(x) (4) построен по узлам, расположенным на промежутке [x_i-k, x_i] таблицы конечных разностей 1.

Таблица 1 – таблица конечных разностей функции f (x_j, y_j)

xj	f j	f j	2f j	3f j	…	kf j
xi-k xi-k+1 xi-k+2 xi-k+3 … xi- 3 xi-2 xi-1 xi xi + 1	f i-k f i-k+1 f i-k+2 f i-k+3 … f i- 3 f i-2 f i-1 f i    f i + 1	f i-k f i-k+1 f i-k+2 … f i- 3 f i-2 f i-1    f i	2f i-k 2f i-k+1 … 2f i- 3 2f i-2     2f i-1	3f i-k … 3f i- 3  3f i-2		kf i-k  kf i-k+1

Наряду с полиномом (4) также построим второй интерполяционный полином Ньютона степени k (5) для интерполяции «назад» из узла x _i+1 в начало таблицы 1, т.е. в качестве базового узла выберем узел x _i+1.

= (x_i+1+qh) = f_i+1 +q f_i + + +…+ (5)

При построении интерполяционного полинома (5) используется восходящая последовательность обведённых рамкой k- конечных разностей из табл. 1. При этом интерполяционный полином (5) построен по узлам, расположенным на промежутке [x_{i k+1}, x_i+1] таблицы конечных разностей 1.

Подстановка полиномов (4) и (5) в равенство (3) приводит к соответственно явной и неявной формулам для вычисления очередного значения y _i+1  y (x _i+1) решения задачи Коши:

(6)

(7)

В результате непосредственного интегрирования полиномов P_k и в выражениях (6) и (7) по формуле Ньютона  Лейбница получается два семейства методов вычисления приближённых значений y_i+1 решения задачи Коши y(x_i+1), параметризуемых параметром k, которые называются соответственно многошаговыми экстраполяционными и интерполяционными методами Адамса.

2. Экстраполяционные Методы Адамса.

Экстраполяционные методы Адамса получаются при подстановке полинома (4) под интеграл в правой части равенства (6).

Поскольку полином (4) является функцией переменной , то при интегрировании в равенстве (6) необходимо сделать замену переменной:

x = x_i + qh; ;

в соответствии с которой . В результате указанной замены переменной формула (6) примет вид:

(8)

где

(9)

Таким образом, из выражений (8) и (9) получается следующая конечноразностная формула, определяющая экстраполяционный метод Адамса.

(10)

В данном случае название «экстраполяционный метод» связано с тем, что интерполяционный полином P_k(x) для равенства (6) строится по узлам, расположенным на промежутке [x_{i– k}, x_i], а его интегрирование производится на отрезке [x_i, x_i+1], т.е. на основе P_k(x) фактически проводится экстраполяция значения y_i+1, лежащего за пределами сетки узлов, используемой для построения интерполяционного полинома P_k(x).

Простейшие случаи экстраполяционного метода Адамса.

Рассмотрим простейшие свойства и частные случаи экстраполяционного метода Адамса, которые соответствуют нескольким первым значениям параметра k в формуле (10).

При фиксировании значения параметра k = 0, 1, 2, 3,… в формуле (10) мы тем самым задаём степень второго интерполяционного полинома Ньютона P_k(x) (нулевую, первую, вторую и т.д.) и, соответственно, число слагаемых (равное 1, 2, 3, …) в правой части формулы (9) или, что тоже самое – число слагаемых в скобках формулы (10).

Конечные разности в получающихся при этом конкретных формулах будем раскрывать через значения функции, приводя формулы к виду (который в литературе иногда называют ординатным видом).

Так из (9) и (10) при k = 0, 1, 2 имеем.

Случай k = 0.

(11)

Данный случай (k = 0) соответствует методу Эйлера.

Случай k = 1.

, 

. (12)

Случай k = 2.

, 

. (13)

Случай k = 3.

, 

. (14)

Формулы (11) – (14) определяют экстраполяционные методы Адамса соответственно первого, второго, третьего и четвёртого порядков.

Оценка порядка точности экстраполяционного метода Адамса.

В общем случае для k+1 раз непрерывно-дифференцируемой функции f (x, y(x)) оценка величины шаговой ошибки может быть получена при сравнении равенства (6) и породившего его равенства (3), т.е. при сравнении соотношений:

) (6) и (3)

Соотношение (3) является точным, поэтому шаговая ошибка метода Адамса (6) обусловлена ошибкой интерполяции исходной функции f (x, y(x)) с помощью второго интерполяционного полинома Ньютона и, следовательно, она определяется интегрированием выражения для ошибки R_k (x) интерполяционной формулы Лагранжа:

.

Как известно, применительно ко второй интерполяционной формуле Ньютона, (4) формула для ошибки интерполяции R_k(x) через переменную q преобразуется к виду:

, (15)

Поэтому ошибка интерполяции является величиной порядка O(h^{k +1}). Следовательно, при интегрировании выражения (15) получим, что локальная погрешность метода типа (8) будет составлять величину:

O(h^{k +2}). (16)

Напомним, что локальная или шаговая ошибка – это ошибка, совершаемая на одном шаге выполнения метода Адамса. Очевидно, что от шага к шагу, т.е. при многократном применении формул (10)  (14) возможно наложение ошибок и в результате за n – шагов реализации вычислительной процедуры образуется глобальная ошибка метода.

1. Порядок глобальной ошибки пошагового метода (относительно шага h) на единицу ниже, чем порядок его локальной ошибки.

2. Порядок соответствующего численного алгоритма решения задачи Коши определяется порядком глобальной ошибки.

Поскольку в соответствии с (11) при k = 0, метод Адамса превращается в метод Эйлера, следовательно, в соответствии с (11), (16) локальная ошибка метода Эйлера (случай k = 0) составляет O(h²), а его глобальная ошибка составляет O(h). Поэтому метод Эйлера является методом первого порядка.

3. Интерполяционные Методы Адамса.

Вторую группу многошаговых методов Адамса строят на основе второго интерполяционного полиномы Ньютона , построенного для базовой точки x_i+1:

(x_i+1+qh) = f_i+1 +q f_i+ + +…+ .

В этом случае подстановка в равенство (7) полинома , определяемого соотношением (5), приводит к неявной формуле для вычисления очередного значения y _i+1  y (x _i+1):

(17)

Для того чтобы подставить в выражение (17) полином , зависящий от переменной , необходимо в интеграле выражения (17) сделать замену переменной: x = x _i+1 + qh; в этом случае при изменении переменной x от x _i до x _i+1 переменная будет меняться в пределах от (–1) до 0. Поэтому в результате данной замены переменной получаем:

,

В результате окончательно формула (17) имеет вид:

, (18)

где

(19)

Отсюда получаем конечноразностную формулу интерполяционного метода Адамса.

. (20)

Как и при выводе экстраполяционных методов Адамса, при фиксации значений параметра k = 0, 1, 2, 3,… в формулах (17, 18) мы, тем самым, задаём степень интерполяционного полинома (нулевую, первую, вторую и т.д.) и, соответственно, число слагаемых (равное 1, 2, 3, …) в правой части формулы (19) или, что тоже самое – число слагаемых в скобках формулы (20). В результате, выражая явно значения конечных разностей через соответствующие значения f (x,y), получаем следующие частные формулы интерполяционного метода Адамса:

Случай k = 0. (21)

Случай k = 1. (22)

Случай k = 2. (23)

Случай k = 3. (24)

Отметим, что (соответственно при k = 0 и k = 1) полученные формулы (21), (22) представляют уже известные нам неявные методы, а именно, неявный метод Эйлера и метод трапеций, которые имеют первый и второй порядок точности соответственно. Заметим, что оба эти метода являются одношаговыми методами, в отличие от методов (23) и (24), которые являются соответственно двухшаговым и трёхшаговым.

Важное отличие экстраполяционных и интерполяционных методов Адамса в том, что первые из них являются явными, а вторые неявными.