Методы решения систем линейных алгебраических уравнений Лекция 5

 Лекция № 5 

1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений.

Способы решения систем линейных уравнений в основном разделяются на две основные группы: на точные или прямые методы и итерационные методы.

• Точные (или прямые) методы. К первой группе принадлежат прямые (или точные) методы, которые позволяют найти точное решение системы за конечное число арифметических действий.

Отметим, что вследствие погрешностей округления при решении задач на ЭВМ прямые (или точные) методы на самом деле не приводят к точному решению и назвать их точными можно, лишь отвлекаясь от вычислительной погрешности !

Наиболее распространенными среди прямых методов являются метод Гаусса и метод прогонки и другие.

• Итерационные методы. Вторую группу составляют итерационные методы (их называют также методами последовательных приближений), которые состоят в том, что точное решение x^* системы находится как предел последовательных приближений x⁽ⁿ⁾, где п - номер итерации.

Таким образом, итерационные методы представляют из себя алгоритмы, позволяющие вычислить значения корней системы с требуемой точностью путём сходящихся бесконечных вычислительных процессов, например, метод итерации, метод Зейделя, метод релаксации и другие.

Замечания.

1. Как отмечалось, вследствие неизбежных округлений результаты реализации даже точных методов являются приближёнными, причём оценка погрешности найденных значений корней системы часто затруднительна. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется собственно погрешность метода. А так же, эффективность применения итерационных методов зачастую зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости вычислительного процесса.

2. В данном курсе будут рассматриваться только системы уравнений с вещественными неизвестными, у которых число уравнений совпадает с числом вещественных неизвестных, причём для данных систем будет предполагаться существование единственного решения. Такое ограничение вполне естественно и объяснимо, так как решение переопределённых и недоопределённых систем, а также систем с комплексными коэффициентами и переменными, в конечном итоге сводится к решению однозначно определённых вещественных систем.

Итак, пусть дана система n – линейных уравнений с n – неизвестными:

(1)

Обозначим через A матрицу коэффициентов системы (1), через b столбец её свободных членов, через x столбец из неизвестных x₁, x₂, … x_n (т.е. вектор искомых решений). В этом случае линейную алгебраическую систему (1), кратко можно записать в виде векторно-матричного уравнения:

A x = b (2)

где A  невырожденная nn матрица коэффициентов данной системы;

b  ненулевой n - мерный вектор свободных членов;

x  n - мерный вектор неизвестных (т.е. вектор искомых решений x₁, x₂, …x_n).

A = ; b = ; x =

Определение 1. Совокупность чисел x₁, x₂, … x_n (или вектор x), превращающих систему (1) в тождество, называется решением этой системы, а числа x_i (i = 1, 2,…,n) - её корнями.

Если матрица коэффициентов A невырожденная, т.е. если

det A = ,

то система (1), или эквивалентное ей матричное уравнение (2), имеет единственное решение.

Действительно, как известно из линейной алгебры, при условии det A  0 существует обратная матрица A^1 к матрице A, такая, что: A^1A = AA^1 = Е, где Е  единичная матрица. Поэтому, умножая обе части уравнения (2) слева на матрицу A^1, получим:

A^1A x = A^1b  x = A^1b (3)

В соответствии с определением 1, очевидно, что формула (3) даёт решение уравнения (2), причём, так как каждое решение имеет вид (3), то это решение единственно. То есть, если допустить, что есть ещё и другое решение уравнения (2), которое отличается от x, тогда в соответствии с (3) оно также имеет вид = A^1b и, следовательно, совпадает с x.

Эффективность способов решения системы (1) во многом зависит от структуры и свойств матрицы A (т.е. от её размерности, числа обусловленности cond A = , симметричности, специфики расположения ненулевых элементов матрицы и других).

Если для решения системы (1) или векторно-матричного уравнения (2) осуществлять вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой (или союзной) матрицы, т.е. через алгебраические дополнения, то нахождение решения по формуле (3) представляет почти катастрофические трудности. Дело в том, что численное решение системы (1) n – го порядка по формуле (3) потребует вычисления n + 1 определителя, что требует большого числа вычислительных операций (порядка n! арифметических операций). Даже при выборе лучшего метода решения, вычисление одного определителя требует примерно такого же времени, что и решение целой равноценной системы уравнений с использованием современных численных методов. Кроме того, следует иметь в виду, что вычисления по формуле (3) ведут к большим погрешностям округлений.

Поэтому особенность большинства численных методов решения системы (1) состоит в отказе от нахождения обратной матрицы. При этом основное требование, предъявляемое к методу решения системы – это минимум числа арифметических действий, достаточных для отыскания приближённого решения с заданной точностью  > 0 (экономичность численного метода).

2. Метод Гаусса.

2.1 Общая характеристика метода Гаусса.

Наиболее распространённым способом решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ) является алгоритм последовательного исключения неизвестных, который носит название метода Гаусса. В отличие от курсов линейной алгебры, где также изучается алгоритм решения систем линейных уравнений с использованием метода Гаусса, в данном курсе нас будут интересовать вычислительные аспекты метода Гаусса, а именно, технология получения вектора решения x из исходной матрицы A коэффициентов системы (1) и вектора b, по возможности, минимизирующая влияние неизбежных ошибок округления.

Итак, рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (1) или (2):

A x = b

В предположении, что определитель матрицы А отличен от нуля.

Метод Гаусса основан на приведении матрицы А к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных x₁, x₂, … x_{n 1} из уравнений системы (1), и называется прямым ходом метода Гаусса.

При этом сначала с помощью первого уравнения исключается x₁ из второго и всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения (которое уже не содержит x₁) исключается x₂ из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (п-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным x_n, т.е. в результате прямого хода метода Гаусса исходная система уравнений (1) будет преобразована в систему, имеющую матрицу треугольного вида.

Далее следует обратный ход метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных, в обратном порядке, начиная с последнего уравнения (т.е. решая последнее уравнение (системы с треугольной матрицей), находим значение x_n, далее, используя это значение x_n, из предпоследнего уравнения вычисляем x_n1, и т.д.; последним найдем x₁ из первого уравнения системы с треугольной матрицей).

Далее при изложении метода Гаусса, работая с уравнениями системы (1), выведем сначала совокупность математически точных формул, позволяющих в итоге получить искомые значения неизвестных x₁, x₂, … x_n, а затем на основе поученных формул запишем алгоритм решения поставленной задачи.