1. Взаємне розміщення прямих і площин.

Автори тестів віднесли розглядувані в цьому пункті задачі переважно до перешого або другого рівня складності. Тому, згідно вимог до тестів, в цих задач потрібно давати або лише відповідь, або ж відповідь з координатами її обґрунтуванням. При цьому достатньо виходити з розуміння суті і розглядуваних геометричних понять і просторової уяви. Саме в такому плані доцільно підходити до задач для самостійного розв’язання. Повне, логічно строге розв’язання цих задач є, здебільшого, досить складним, що добре ілюструється при розв’язуванні задачі 07.

01. Паралельні прямі a,b,c не лежать в одній площині. Пряма d перетинає прямі a,b. Яке взаємне розміщення прямих d,c?

А)Перетинаються. Б) Паралельні. В) Мимобіжні Г) Співпадають.

Прямі a,b визначають єдину площину. Позначимо її через a. Тоді пряма d лежить в площині a, а пряма с паралельна їй. Тому c і d не перетинаються. Оскільки прямі c і a паралельні, а прямі d, a не паралельні, то й прямі c і d не паралельні. Отже, вони мимобіжні.

02. Прямі a,b не перетинаються. Яке взаємне розміщення цих прямих, якщо пряма а паралельна площині, а пряма b перетинає цю площину?

А)Перетинаються. Б) Мимобіжні.

Якщо прямі a, b не перетинаються, то вони або паралельні, або мимобіжні. Але вони, як слідує з другої частини умови задачі, не паралельні. Отже, прямі a, b мимобіжні.

03.* Чотири точки А, В,С,D не лежать в одній площині. Через середини відрізків АВ і ВС, АD і DС проведемо прямі. Яке взаємне розміщення цих прямих?

Нехай – середини відповідних відрізків. Тоді – середня лінія, РК – середня лінія. Тому і . Отже, прямі РК і М паралельні або співпадають. Оскільки точки А, В, С, не лежать в одній площині, то трикутники АВС і АС та їх середні лінії М РК лежать в різних площинах, які перетинаються по прямій АС. Прямі М і РК відмінні від прямої АС, а тому не співпадають. Отже .

04.* Прямі АВ і С мимобіжні. Яке взаємне розміщення прямих АС і В?

Прямі АС і ВС мимобіжні. Доведемо це методом від супротивного. Нехай АС і В не мимобіжні. Тоді вони або паралельні, або перетинаються. В обох випадках точки А,В,С, будуть надежати одній площині, що суперечать умові.

05.Чотири точки не лежать в одній площині. Яка найбільша кількість точок може лежати на одній прямій?

А) Жодної Б) Дві В)Три. Г) Одна Д) Чотири.

На одній прямій не може лежати більше двох заданих точок. Дійсно якби на одній прямій лежало 3 або 4 точки, то всі чотири точки належали б одній площині, що суперечить умові. В той же час, дві довільні точки завжди лежать на одній прямій.

06.* Паралелограми АВС і АВ лежать у різних площинах. Який вид чотирикутника С?

Так як АВС – паралелограм, то і . Аналогічно і . Тому і . Отже, - паралелограм.

07. Дано мимобіжні прямі с і . Скільки існує площин, які проходять через пряму а і паралельні прямій ?

А) Дві. Б) Жодної В) Одна. Г) Безліч Д) Три.

Через деяку точку М прямої а проведемо пряму . Прямі а і визначають єдину шукану площину а. дійсно, ця площина містить пряму , яка паралельна прямій . Для доведення єдності шуканої площини припустимо, що існує інша площина а, яка приходить через пряму а і паралельна прямій. Площина а не мітить прямої , оскільки в противному випадку площина а і а містили б дві прямі а і , що перетинаються, а тому співпадали б. Отже, пряма перетинає площину а, а тому не паралельна , що суперечить припущенню. Єдність шуканої площини доведена.

Задачі для самостійного розв’язання

08. Дві прямі а і паралельні прямі с. Яке взаємне розміщення прямих а і ?

09. Вказати малюнок, на якому зображено мимобіжні прямі:

10. Прямі а і перпендикулярні до площини. Яке взаємне розміщення цих прямих?

11. Дано куб АВС. Яке взаємне розміщення прямих ?

12. Дано чотирикутну піраміду . Через середини ребер проведемо пряму МК. Яке твердження правильне? А) Прямі МК і С перетинаються; Б) Прямі МК і ВС паралельні; В) Пряма МК паралельна площині грані АВС; Г) Прямі МК і АС мимобіжні.

13. Прямі АВ і С перетинаються. Яке твердження неправильне?

А) прямі АС і В можуть перетинатися; Б) Прямі АС і В можуть бути мимобіжними; В) Прямі АС і В можуть бути парлельними.

14. Відомо, що пряма а перпендикулярна до площини , а площина паралельна прямій с. Яке взаємне розміщення прямих а і с?

15.Відомо, що пряма а перпендикулярна прямій , а пряма паралельна прямій с. Яке взаємне розміщення прямих а і с?

16. Точки К, Е, М, Н – середини ребер АВ, ВС, С, А тетраедра АВС. Яке взаємне розміщення прямих МН і КЕ?

17. Через три точки проведено дві різні площини. Як розміщені тоски?

18. Як розміщені площини а і , якщо пряма а перетинає площину а і паралельна площині ?

19. Площина а проходить через пряму, перпендикулярну до площини . Як розміщені ці площини?

20. Відомо, що площина а паралельна прямій , а пряма паралельна площині, відміній від . Яке взаємне розміщення площин ?

21. Відомо, що площина а перпендикулярна прямій , а пряма перпендикулярна площині. Яке взаємне розміщення площин ?

22. Відомо, що площина а паралельна прямій , а пряма перпендикулярна до площини. Яке взаємне розміщення площин ?

23. Дано три різні площини . Відомо, що перпендикулярна , перпендикулярна . Яке взаємне розміщення площин ?

24. Трикутник лежить у площині , яка паралельна площині. Як розміщені сторони цього трикутника відносно площини ?

25. Площини паралельні . Пряма а перетинає площину. Як розміщена ця пряма відносно площини ?

26. Площа перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих. Як розміщена друга з цих прямих відносно площин?

27. Пряма, яка лежить в одній з двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину. Як розміщена ця пряма відносно другої площини?

28. Сторона АВ паралелограма АВСD лежить на площині , а сторона СD не лежить на ній. Як розміщена ця пряма СD відносно площини?

29. Відомо, що пряма а паралельна прямій , а пряма перетинається з площиною. Яке взаємне розміщення прямої а і площини ?

30. Відомо, що пряма а паралельна прямій , а пряма паралельна площині. Яке взаємне розміщення прямої а і площини ?

31. Відомо, що пряма а перпендикулярна прямій , а пряма перпендикулярна площині. Яке взаємне розміщення прямої а і площини ?

32. Відомо, що площина а перпендикулярна прямій , а пряма перпендикулярна прямій с. Яке взаємне розміщення площини і прямої ?

33. Вказати неправильне твердження:

А) Через точку поза даною прямою можна провести пряму, паралельну цій прямій, і до того ж тільки одну; Б) Якщо пряма в просторі перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона обов’язково перетинає одну з двох паралельних прямих , то вона обов’язково перетинає і другу пряму; В) Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій; Г) Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

34. Скільки прямих, перпендикулярних даній площині, можна провести через точку поза даною площиною?

35. В просторі дано пряму а і точку М. Скільки існує прямих, які проходять через М і паралельні до прямої а?

36. Дано площину і точку М поза нею. Скільки існує прямих, які проходять через М і паралельні до площини ?

37. Дано дві площини і , що перетинаються. Точка М не належить жодній з них. Скільки існує прямих, які проходять через точку М і паралельні площинам і ?

38. В просторі дано пряму а і точку М. Скільки існує прямих, які проходять через М перетинають пряму а і перпендикулярні до неї?

39. Дано дві паралельні площини і , . Точка М не належить жодній з них. Скільки існує прямих, які проходять через точку М і паралельні площинам і ?

40. Скільки площин можна провести через три точки, які не лежать на одній прямій?

41. Дано паралельні прямі і. Скільки існує площин, які проходять через пряму а і паралельні прямій ?

42. Дві прямі не паралельні і не перетинаються. Скільки площин можна провести через ці прямі?

43. Скільки площин, паралельних даній площині, можна провести через точку поза даною площиною?

44. Дві прямі перетинаються. Скільки площин можна провести через ці прямі?

45. Пряма а паралельна площині. Скільки площин, паралельних площині а, можна провести через цю пряму?

46. Прямі а, і с попарно перетинаються. Скільки площин, можна провести через ці прямі?

47. Дано дві мимобіжні прямі а і. Скільки існує пар паралельних площин, одна з яких проходять через а, а друге – через?

48. В просторі дано дві прямі а і , що перетинаються. Точка М не належить жодній з них. Скільки існує площин, які проходять через точку М і паралельні до прямих а і?

49. В просторі дано пряму а і точку М. Скільки існує площин, які проходять через М і перпендикулярні до прямої а?

50. Дано площину і пряму, яка їй не належить. Скільки існує площин, які проходять через точку а і перпендикулярні до площини ?

51. В просторі дано пряму а і точку М поза нею. Скільки існує площин, які проходять через М і паралельні до прямої а?

52. Дано площину і пряму, яка їй не належить. Скільки існує площин, які проходять через точку а і паралельні ?

53. В просторі дано площину а і точку М поза нею. Скільки існує площин, які проходять через М і перпендикулярні до а?

54. Скільки існує площин, які проходять через дану пряму і точку в просторі?

55. Трапеція АВСD і паралелограм лежать в різних площинах. Чи буде чотирикутник трапецією? Відповідь обґрунтувати.