1. Призми

01. Висота правильної трикутної призми дорівнює см, а радіус кола, описаного навколо її основи, дорівнює см. Обчислити об’єм призми. А) 108см. Б) 54см. В) 36см. Г) 216см. Д) 48см.

На мал.. зображено основу призми. .

02. В правильній трикутній призмі радіус кола,описаного навколо основи, дорівнює 2см, а діагональ бічної грані дорівнює см. Обчислити об’єм призми.

А) 18см. Б) 24см. В) 12см. Г) 36см. Д) 30см.

Дано: - правильна призма; коло(О;ОВ) – описане; ОВ=2см; . Знайти.

Проведемо висоту основи СМ. З . Тоді . З .

03.* В правильної трикутної призми діагональ бічної грані утворює з бічним ребром кут а. Визначити об’єм призми, якщо радіус кола, вписаного в основу, дорівнює .

Дано: - правильна призма; коло (О;ОD) – вписане; . Знайти.

Оскільки – точка дотику вписаного кола до сторони ВС, то. З . Тоді . З .

04.* В основі прямої призми лежить прямокутник діагоналі якого утворюють з площиною основи кут а* Визначити об’єм призми.

Дано: - пряма призма; АВС – прямокутник; . Знайти.

З . рівнобедреного трикутника ВСО:.

Зауваження. Якщо вважати заданою діагональ бічної грані, то розв’язання аналогічне, а об’єм .

05. В основі прямої призми лежить ромб із стороною 5 і діагоналлю 8см. Обчислити об’єм призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 13см.

А) 432см. Б) 72см. В) 144см. Г) 288см. Д) 96см.

Дано: - пряма призма; АВС – ромб; АВ=5см; АС=8см; В=13см. Знайти.

З .

06.* В основі прямої призми лежить ромб з гострим кутом а*. Більша діагональ призми дорівнює а і нахилена до площини основи під кутом . Визначити об’єм призми.

Дано: - пряма призма; АВС – ромб; . Знайти.

Нехай О – точка перетину діагоналей АС і В. За умовою в ромбі АВС кут А – гострий, тому кут В – тупий. Тоді діагональ В менше діагоналі АС. Розглянемо прямокутні трикутники і . Оскільки , то . Отже, - більша діагональ призми. З . За власностями діагоналей ромба .

07.* В основі прямої призми лежить ромб. Більша діагональ призми дорівнює а і нахилена до площини основи під кутом , менша діагональ утворює з бічним ребром кут. Визначити об’єм призми.

Дано: - пряма призма; АВС – ромб; Знайти.

З .

08. В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з основами 9 і 14см і більшою бічною стороною 13см. Обчислити об’єм призми, якщо менша її діагональ 25см.

А) 3000см. Б) 2760см. В) 4200 Г) 2400 Д) 1800см.

Дано: - пряма призма; АВ=14см; С=9см; А=13см; В=25см. Знайти .

Проекція діагоналі В на пряму АВ менша від проекції діагоналі АС, тому . Тоді меншою діагоналлю призми буде діагональ В. Проведемо . Тоді АМ=АВ-С=5см. З

Задачі для самостійного розв’язання

09. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 4см, а її бічне ребро дорівнює см. Обчислити об’єм призми.

10. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник, основа якого, дорівнює 12см, а висота, проведена до неї, - 8см. Обчислити об’єм призми(задача не визначена).

11. В основі прямої призми прямокутний трикутник з катетом 6 і 8см. Висота призми дорівнює 10см. Обчислити об’єм призми.

12. В основі прямої призми лежить трикутник, сторона якого дорівнює 12см, а висота, проведена до неї, - 5см. Бічне ребро призми дорівнює 8см. Обчислити об’єм призми.

13. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною 10см і медіаною, проведеною до основи, 8см. Обчислити об’єм призми, якщо діагональ найбільшої грані дорівнює 13см.

14. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою 12см і бічною стороною 10см. Обчислити об’єм призми, якщо діагональ меншої бічної грані дорівнює 26см.

15.* В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з катетом а і протилежним кутом а*. Діагональ бічної грані, яка містить гіпотенузу, нахилена до площини основи під кутом . Визначити об’єм призми.

16. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 8см, а її бічне ребро дорівнює 10см. Обчислити об’єм призми.

17. Висота правильної чотирикутної призми дорівнює 10 см, а радіус кола, описаного навколо основи, см. Обчислити об’єм призми.

18. В основі прямої призми лежить прямокутник, сторони якого дорівнюють 8 і 6см. Бічне ребро призми -10см. Обчислити об’єм призми.

19. В основі прямої призми лежить ромб, діагоналі якого дорівнюють 6 і 8см. Бічне ребро призми - 20см. Обчислити об’єм призми.

20. В правильній чотирикутній призмі радіуса кола, описаного навколо основи, дорівнює см. Діагональ бічної грані – 25см. Обчислити об’єм призми.

21. В правильній чотирикутній призмі діагональ її 9см, а діагональ бічної грані см. Обчислити об’єм призми.

22. В основі прямої призми лежить прямокутник, з стороною 6см, і радіусом описаного кола 5см. Обчислити об’єм призми, якщо її діагональ дорівнює 26см.

23.* В основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною кут а*. Діагональ призми а і нахилена до площини основи під кутом . Обчислити об’єм призми.

2.Піраміди

24.* Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює а і нахилене до площини основи під кутом . Визначити об’єм піраміди.

Дано: - правильна піраміда; - висота; ; . Знайти.

В правильній чотирикутній піраміді основа висоти є точкою перетину діагоналей основи. З

25. У правильній чотирикутній піраміді апофема дорівнює 5см, а радіус кола, описаного навколо основи, дорівнює см. Обчислити об’єм піраміди.

А) 64см. Б) 192см. В) 32см. Г) 48см. Д) 96см.

Дано: - правильна піраміда; М=5см; О – висота; коло(О; ОС) – описане; ОС=см. Знайти.

В правильній чотирикутній піраміді центр О описаного навколо основи кола є основою висоти піраміди і точкою перетину діагоналей основи. Тому МС=ОМ=8/2=4(см). З .

26. В основі піраміди лежить трикутник з сторонами 13, 14 і 15см. Висота піраміди дорівнює 10см. Обчислити об’єм піраміди.

А) 320см. Б) 840см. В) 280см. Г) 420см. Д) 560см.

Обчислимо площу основи піраміди за формулою Герона:

Р=(13+14+15)/2=21(см); . Тоді .

27. В основі піраміди лежить правильний трикутник, сторона якого 8см. Основою висоти піраміди є середина сторони даного трикутника. Найбільше бічне ребро піраміди дорівнює см. Обчислити об’єм піраміди.

А) 256см. Б) 128см. В) 192см. Г) 64см. Д) 240см.

Дано: - піраміда; АВ=ВС=АС=8см; ВО=ОА; .Знайти .

Оскільки в рівносторонньому трикутнику АВС АО=ОВ і ОАОС, то А=АВ і АС. Тому С- найбільше бічне ребро піраміди. В .

28. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Всі бічні ребра піраміди рівні. Основа висоти піраміди віддалена від катетів цього трикутника на 3 і 4см. Висота піраміди 10см. Обчислити об’єм піраміди.

А) 80см. Б) 480см. В) 240см. Г) 160см. Д) 320см.

Оскільки А=В=С, то основа висоти О піраміди є центром описаного навколо прямокутного трикутника АВС кола, тобто є серединою гіпотенузи. Нехай О і ОК – середні лінії АВС, причому ОК=3см, О=4см. Тоді СВ=3ОК=6(см), АС=2О=8(см).

29. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, катет якого 6см. В радіус описаного навколо нього кола 5см. Всі бічні ребра піраміди дорівнюють 13см. Обчислити об’єм піраміди.

А) 192. Б) 48см. В) 96см. Г) 288см. Д) 144см.

Дано: - піраміда; АС=6см; коло(О;R) – описане; R=5см; А=В=С=13см. Знайти.

Точка проектується в точку О – центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, тобто в середину гіпотенузи. Тому АВ=2=10см.

30* В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Всі бічні ребра піраміди утворюють з площиною її основи кут . Визначити об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює Н.

Дано: - піраміда; О – висота піраміди; О=Н; . Знайти.

Оскільки всі бічні ребра рівно нахиленні до площини основи, то вершина проектується в точку О, яка є центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника АВС, тобто в середину гіпотенузи АВ. З . Тоді . З

31. * В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник, у якому висота, проведеного до його основи, дорівнює 8см, а радіус кола, вписаного в нього, 3см. Висоти всіх бічних граней піраміди дорівнюють 5см. Обчислити об’єм піраміди.

А) 128см. Б) 384см. В) 256см. Г) 64см. Д) 180см.

Дано: - піраміда; АС=ВС; СК=8см; М, К – висоти бічних граней; М=К=5см; коло(О;ОК) – вписане; ОК=3см. Знайти.

Оскільки М=К, то вершина піраміди проектується в центр О вписаного в основу кола. У рівнобедреному трикутнику центр О лежить на висоті СК. ОС=8-3-5(см). З – подібні, як прямокутні із спільним кутом С. Тоді .

32.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник, бічна сторона якого дорівнює а і кут при основі якого - . Всі бічні грані піраміди утворюють з площиною основи кут . Визначити об’єм піраміди.

Дано: - піраміда; АС=ВС=а; О- висота піраміди; Р, К, - висоти бічних граней; . Знайти.

Оскільки всі бічні грані піраміди рівно нахилені до площини основи, то вершина проектується в точку О – центр кола, вписаного в основу. Точка О лежить на висоті СР трикутника АВС. З .

33.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при основі.Висота проведена до основи цього трикутника, дорівнює. Всі бічні ребра піраміди утворюють з площиною її основи кут . Визначити об’єм піраміди.

Дано: - піраміда; О – висота піраміди; . Знайти.

Оскільки, то О – центр кола описаного навколо основи. Отже, АО=ОВ=ОС=. Точка О лежить на висоті СР трикутника АВС. З . В (наслідок з теореми синусів). Тому. З .

34.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною а і кутом а* апри основі. Бічна грань піраміди, що містить основу цього трикутника, перпендикуляр до площини її основи, а дві інші бічні грані утворюють з нею кут. Визначити об’єм піраміди.

Дано: - піраміда; АС=В=а; - висота піраміди; Е – висоти граней ВС, АС, . Знайти.

Оскільки і , то лежить в площині АВ, тобто . – як прямокутні трикутники, у яких і катет – спільний. Тоді Е=. Отже, точка рівновіддалена від сторін СА і СВ кута АСВ, а тому вона лежить на бісектрисі і цього кута. Оскільки АВС рівнобедрений, то С – його бісектриса, медіана і висота. З

35. Основою піраміди є ромб, площа якого дорівнює 600см, а сторона – 25см. Висоти всіх бічних граней дорівнюють 15см. Обчислити об’єм піраміди.

А) 1800см. Б) 5400см. В) 3600см. Г) 900см. Д) 2400см.