6. Вектори

132.* Дано вектори а(-2;2;-3) і b(3;1;2). Знайти .

133.* При якому n вектори а(n;3;-1) і b(2;-1;5) перпендикулярні?

Вектори перпендикулярні тоді і лише тоді, коли , 2n-8=0; n=4.

134.* При яких значеннях m і n вектори колінеарні?

Вектори колінеарні тоді, коли їх координати пропорційні. Отже, звідки .

135.* У трикутнику АВС А(2;1;3), В(1;1;4), С(0;1;3). Знайти кут АВС.

Обчислюємо: . Отже, тобто .

136. В трикутнику АВС А(2;1;3), В(1;1;4), С(0;1;3). Чи перпендикулярні вектори і , де М – середина відрізка АВ?

.Знаходимо координати векторів і . Оскільки , то вектори і не перпендикулярні.

137. Дано вектор . Знайдіть колінеарний йому вектор з початком у точці А(1;1;1) і кінцем у точці В на площині XY.

Нехай В(x; y;0) – така точка площини XY, що вектори і колінеарні. Тоді . Координати векторів і повинні бути пропорційними. Тому , звідки . Отже, .

Задачі для самостійного розв’язання

138. Які з векторів і рівні? А) (1;4;3), (2;4;3). Б) (3;4;8), (3;5;8).

В) (2;-1;0), (2;-1;0). Г) (3;0;0), (4;0;0). Д) (0;0;1), (0;1;0).

139. Вказати вектор, який дорівнює сумі вектора (8;-7;-3) і (-6;9;5):

А) (3;-6;5). Б) (1;1;1) В) (2;2;2) Г) (2;1;3) Д) (0;2;2).

140. Вказати вектор, який колінеарний вектору (4;1;2): А) (4;2;1), Б) (8;2;4) В) (-4;2;1), Г) (1;1;1), Д) (-5;1;-2).

141. Дано вектори (-1;2;3) і (3;2;1). Знайти

142. Дано вектори (2;-2;3) і (3;-1;2). Знайти

143. Дано вектори (-2;-1;-3) і (2;4;4). Знайти

144. Дано вектори (4;-4;2) і (3;2;2). Знайти

145. Дано вектори (3;0;-3) і (4;2;-4). Знайти

146. Знайти координати векторів , якщо А(-2;4;1), В(3;-7;1).

147. Дано точки А(-1;0;1) і В(1;-1;0). Чому дорівнюють координати вектора .

148. В трикутнику АВС А(4;2;10), В(10;-2;8), С(-2;0;6). Чи перпендикулярні вектори і , де М – середина відрізка ВС?

149. Дано точки А (1;0;1), В (-1;1;2), С (0;2;-1). Знайдіть на осі Z точку D, щоб вектори і були перпендикулярні.

150. Дано точки А(1;0;2) , В(3;n;5), С(2;2;0), D(5;4;m). При яких m і n вектори і колінеарні?

151. Дано вектор (1;2;3). Знайдіть колінеарний йому вектор з початком у точці А(-1;-1;-1) і кінцем ц точці В на площині XY.

Розділ 11. Многраники і тіла обертання

1. Призми

01. Площа бічної грані правильної трикутної призми дорівнює 48см² , а периметр основи – 12см. Обчислити бічне ребро призми.

А) 24см. Б) 8см. В) 12см Г) 4см Д) 6см.

Сторона основи а=12:3=4(см). Площа бічної грані S=ah, звідки h=S/a=48/4=12(см).

02.У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані дорівнює см.

А) 6см. Б) 5см. В) см Г) 4см Д) 3см.

Дано: - правильна призма; см; ; см. Знайти

З . З

03.* В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом а. Визначити висоту призми, якщо діагональ бічної грані, що містить катет, протилежний куту а, утворює з площиною основи кут , а гіпотенуза трикутника дорівнює с.

Дано: - пряма призма; Знайти .

З . Оскільки , то пряма ВС є проекцією прямої на цю площину. Тому .

04.* В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при основі і радіусом вписаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює з площиною основи кут . Визначити висоту призми.

Дано: - пряма призма; коло (О;ОК) – вписане; ОК=r . Знайти .

Нехай точка К є точкою дотику вписаного кола до сторони АВ. Тоді Точка О, як центр вписаного кола, є точкою перетину бісектрис трикутника. Тому в і . як прямокутні за спільним катетом і гострим кутом. Тоді АК=КВ і пряма ОК є серединним перпендикуляром до відрізка АВ. Точка С рівновіддалена від кінців даного відрізка, а тому . З . З .

05.Діагональний переріз правильної чотирикутної призми – квадрат, площа якого дорівнює 18см² . Обчислити периметр основи призми.

А) 16см. Б) 24см. В) 36см Г)18см Д) 12см.

Дано: - правильна призма; - квадрат; . Знайти .

Оскільки , то . З АВ=3см. 4/3=12(см).

06.* В основі призми лежить ромб. Менша діагональ призми дорівнює і утворює з площиною основи кут . Визначити площу основи призми.

Дано: - пряма призма; АВСD - ромб; . Знайти .

З . З .

Задачі для самостійного розв’язання

07. Дано прямокутний паралелепіпед . Довжина якого з відрізків є відстанню між мимобіжними прямими і ?

А) 24см. Б) 8см. В) 12см Г) 4см Д) 6см.

08. Знайти відстань від вершини А куба до площини , якщо сторона куба дорівнює .

09. Знайти кут між площинами і куба.

10.* Дано прямокутний паралелепіпед . Знайти відстань між вершинами і паралелепіпеда, якщо =4см, АС=7см, АВ=1см.

11. Бічна грань правильної трикутної призми – квадрат, діагональ якого дорівнює . Обчислити периметр основи призми.

12. Бічна грань правильної трикутної призми – квадрат, площа якого дорівнює 64см² . Обчислити периметр основи призми.

13. Бічна грань правильної трикутної призми – квадрат. Периметр основи призми дорівнює 36см. Обчислити бічне ребро призми.

14. Площа бічної грані правильної чотирикутної призми дорівнює 48см² , а периметр основи 12см. Обчислити бічне ребро призми.

15. Бічна грань правильної чотирикутної призми – квадрат, діагональ якого дорівнює . Обчислити периметр основи призми.

16. Бічна грань правильної чотирикутної призми – квадрат, площа якого дорівнює 36см ² . Обчислити периметр основи призми.

17. Бічна грань правильної чотирикутної призми – квадрат. Периметр основи призми дорівнює 64см. Обчислити бічне ребро призми.

18. Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює12 см. Обчислити висоту призми.

19. В правильній чотирикутній призмі сторона основи дорівнює 4см. Обчислити висоту цієї призми, якщо її діагональ дорівнює 9см.

20. У правильній трикутній призмі радіус описаного навколо основи кола дорівнює см. Обчислити висоту цієї призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 13см.

21. У правильній трикутній призмі радіус вписаного в основу кола дорівнює см. Обчислити діагональ бічної грані призми, якщо її висота дорівнює 8см.

22. Площа основи правильної трикутної призми дорівнює . У правильній трикутній призмі радіус описаного навколо основи кола дорівнює см² . Обчислити висоту цієї призми, якщо діагональ її бічної грані дорівнює 17см.

23. Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 24 см. Обчислити діагональ бічної грані призми, якщо її площа дорівнює 48см ².

24. У правильній трикутній призмі площа основи дорівнює см ² . Обчислити висоту призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 5см.

25. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною 10см і висотою, проведеною до основи, 8см. Діагональ грані, що містить цю основу, дорівнює 13см. Обчислити висоту призми.

26. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою 12см і висотою, проведеною до неї, 8см. Обчислити діагональ грані, що містить бічну сторону трикутника, якщо висота призми дорівнює 24см.

27. В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з катетами 8см і 6см. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу цього трикутника, дорівнює 26см. Обчислити висоту призми.

28.* В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом описаного кола R. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, утворює з площиною основи кут. Обчислити висоту призми.

29.* В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, утворює з площиною основи кут а. Визначити радіус кола, описаного навколо основи, якщо висота призми дорівнює Н.

30.* В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трикутника, утворює з площиною основи кут і дорівнює. Визначити радіус кола, вписаного в основу призми .

31.* В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом . Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, утворює з площиною основи кут а. Визначити площу цього трикутника, якщо висота призми дорівнює Н.

2. Піраміди

32. Площа бічної грані правильної трикутної піраміди дорівнює 48см ² , а периметр основи – 12см. Обчислити апофему піраміди.

А) 8см. Б) 4см. В) 6см. Г) 12см. Д) 24см.

Сторона основи а=12:3=4(см). Площа бічної грані , h – апофема піраміди. Тоді h=2S/a=2*48/4=24(см).

33.бічною граню правильної трикутної піраміди є правильний трикутник, площа якого дорівнює см ² . Обчислити периметр основи піраміди. А) см. Б) 24см. В) 48см. Г) 36см. Д) 12см.

- рівносторонній. Нехай ВС=х. Тоді. Отже, , звідки х=8. Периметр основи Р=3х=24(см).

34. У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює см, а бічне ребро – 5см. Обчислити висоту піраміди. А) 4см. Б) 3см. В) см. Г) 16см. Д) см.

Дано: SABC – правильна піраміда; OS – висота; ВС= ; SС=5см.

Проведемо . З . . З .

35.* Відстань від основи висоти правильної трикутної піраміди до її бічного ребра дорівнює р, а бічне її ребро утворює з площиною основи кут . Визначити бічне ребро піраміди.

Дано: SABC - правильна піраміда, SО – висота. Знайти SС.

З . З .

36.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник основа якого дорівнює а і кут при основі. Всі бічні грані піраміди утворюють з площиною основи кут. Визначити висоту піраміди.

Дано: SABC - піраміда: АС=ВС; АВ=а; ;SO – висота; . Знайти SО.

Побудуємо , ,. Тоді за теоремою про три перпендикуляри , , . Отже, - як лінійні кути рівних двогранних кутів. Оскільки , то трикутники SОК, SОL, SOM – прямокутні. Ці трикутники мають спільний катет SО і рівні гострі кути. Тому , звідки ОК=ОL=OM. Оскільки ОК, ОL, ОМ є відстанями від точки О до прямих АВ, ВС, АС, то точка О рівновіддалена від сторін , а значить є центром кола, вписаного в нього. Тоді ОВ – бісектриса кута В і . АК=КВ(див. обґрунтування в задачі 04). Тому КВ=а/2. З . З .

37.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник основа якого дорівнює 12см а бічна сторона 10см. Висоти всіх бічних граней дорівнюють 5см. Визначити висоту піраміди.

А) 2см. Б) 3см. В) 4см. Г) 6см. Д) 8см.

Дано: SABC – піраміда; АС=ВС=10см; АВ=12см; SL, SK, SM – висоти бічних граней; SL=SK=SM=5см. Знайти Н.

Нехай SO – висота піраміди. Оскільки SL=SK=SM – рівні похилі, то будуть рівні їх проекції: OL=OK=OM. За теоремою про три перпендикуляри з умов , , випливає, що КВ=АВ/2=6см. З . Оскільки , то , звідки r=3(см). З .

Примітка.1. Якщо в деякій піраміді висоти всіх бічних граней рівні між собою або бічні грані утворюють з площиною основи один і той же кут, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу.

2. Якщо в деякій піраміді всі бічні ребра рівні між собою або якщо вони утворюють з площиною основи один і той же кут, то вершина піраміди проектується в центр кола, описаного навколо основи.

Ці твердження доводяться аналогічно задачам 36, 37.

В подальшому для вказаних пірамід ми не будемо обґрунтовувати того, чому їх вершина проектується в центр вписаного або описаного кола основи.

38. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник бічна сторона якого дорівнює 10см, а висота проведена до основи, - 8см. Основою висоти піраміди є точка перетину бісектрис цього трикутника. Обчислити висоти бічних граней піраміди, якщо її висота дорівнює 4см.

Дано: SABC – піраміда; SO – висота; ВС=АС=10см; ; СК=8см; SO=4см; SL, SK, SM – висоти бічних граней. Знайти SL, SK, SM.

Точка 0, як точка перетину бісектрис трикутника АВС, є центром вписаного в нього кола.

Нехай L, K, M – точки дотику вписаного кола відповідно до сторін ВС, АВ, АС. Тоді , , , тобто SL, SK і SM є шуканим висотами. Оскільки OL=OK=OM=r, то рівними будуть і похилі: SL=SK=SM. З . АВ=2*6=12(см). , звідки r=3(см). З . Отже, SL=SK=SM=5см.

39. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, один з катетів якого дорівнює 12см. Обчислити другий катет трикутника.

А) 52см. Б) 60см. В) 65см. Г) 8см. Д) 36см.

Дано: SABC – піраміда; SO – висота; АС=6см; SO=12см; SС=SВ=SА=13см. Знайти ВС.

Оскільки всі бічні ребра піраміди рівні, то точка 0 є центром кола, описаного навколо основи, тобто є серединою гіпотенузи АВ. З . АВ=2*ОВ=10см. .

40.* В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Всі бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кут. Висота піраміди дорівнює Н. Визначити площу основи піраміди.

Дано: SABC – піраміда; SO – висота; SO=Н; . Знайти S.

Оскільки бічні ребра однаково похилені до площини основи, то основа висоти (точка О) є центром кола, описаного навколо . Для прямокутного трикутника АВС точка О буде серединою гіпотенузи. З . Тоді АВ=2ОВ=2Н*ctg. З .

41.* В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, з кутом а. Висоти всіх бічних граней дорівнюють і утворюють з площиною її основи кут . Обчислити площу основи піраміди.

Дано: SABC – піраміда; SO – висота піраміди; SM,SL,SK – висоти бічних граней; SK=SL=SM=l; . Знайти S.

Оскільки всі бічні рівнонахилені до основи, то вершина S проектується в центр кола, вписаного в . З . Так як і , то і . Тоді в чотирикутнику , а отже і . Тому чотирикутник є прямокутником. Оскільки, крім того, він має різні суміжності сторони (OL=OK), то – квадрат. Тому CL=OL. В і . Тоді . З

42.* В основі піраміди лежить трикутник з кутом а і. Всі бічні ребра дорівнюють і утворюють з площиною основи кут . Обчислити площу основи піраміди.

Дано: SABC – піраміда; SO – висота піраміди; AS=BS=SC=l; . Знайти S.

Оскільки бічні ребра рівні, то вершина S проектуэться в точку О – центр кола, описанного навколо . За наслідком з теореми синусів: ; ; ; . .

43.* В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, з кутом а. Всі бічні грані піраміди утворюють з площиною основи кут. Радіус вписаної кулі дорівнює r. Обчислити площу основи піраміди.

Дано: SABC – піраміда; SO – висота піраміди; SM,SN,SK – висоти бічних граней; куля – вписана; 0=r. Знайти S.

Оскільки всі бічні грані піраміди рівнонахилені до основи, то вершина S проектується в точку О – центр кола, вписаного в . Центр вписаної кулі лежить на перетині бісекторних площин двограних кутів. Так як всі двогранні кути при ребрах основи піраміди дорівнюють , то площини , і утворюють з площиною (АВС) один і той же кут . Тому вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в , тобто в точку О. З того, що точка О є проекцією точок S і випливає, що . Оскільки – лінійний кут двогранного кута, то – його бісектриса. З . З . Оскільки – квадрат(див. обґрунтування в задачі 41), то CN=ON=. Тоді . З .

44.* В основі піраміди лежить прямокутник з кутом а між діагоналями. Всі бічні ребра піраміди утворюють з площиною її основи кут і дорівнюють . Обчислити площу основи піраміди.

Дано: SABC – піраміда; SO – висота піраміди; ABCD - прямокутник; SC=SB=SA=l; Знайти S.

Оскільки бічні ребра однаково похилені до площини основи, то точка О є центром кола, описаного навколо прямокутника ABCD, тобто О є точкою перетину його діагоналей. З .

45.* Радіус кулі, вписаної в правильну чотирикутну піраміду, дорівнює r, а двогранний кут при основі дорівнює а. Визначити висоту піраміди.

Дано: SABC – піраміда; SO – висота; SМ – апофема; Знайти ОS.

Центр вписаної кулі лежить на висоті SO піраміди і (див. обґрунтування в задачі 43). З . З.

Задачі для самостійного розв’язання

46. Бічна грань правильної трикутної піраміди – правильний трикутник, висота якого дорівнює см. Обчислити периметр основи піраміди.

47. Бічна грань правильної чотирикутної піраміди – правильний трикутник, площа якого дорівнює см. Обчислити периметр основи піраміди

48. Бічна грань правильної трикутної піраміди – правильний трикутник, периметр якого дорівнює 36см. Обчислити периметр основи піраміди.

49. У правильної трикутної піраміди сторона основи дорівнює см, а апофема – 5см. Обчислити висоту піраміди.

50. У правильної трикутної піраміди апофема дорівнює 4см, а її висота см. Обчислити сторону основи піраміди.

51. Площа бічної грані правильної чотирикутної піраміди дорівнює 48см² , а периметр основи – 12см. Обчислити апофему піраміди.

52. Бічна грань правильної чотирикутної піраміди – правильний трикутник, висота якого дорівнює см. Обчислити периметр основи піраміди.

53. Діагональний переріз правильної чотирикутної піраміди – правильний трикутник, площа якого дорівнює см² . Обчислити периметр основи піраміди.

54. Бічна грань правильної чотирикутної піраміди – правильний трикутник,периметр якого дорівнює 36см. Обчислити площу основи піраміди.

55. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 15 і 20см. Висоти всіх бічних граней піраміди дорівнюють 13см. Обчислити висоту піраміди.

56. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 6 і 8см. Всі бічних ребра піраміди дорівнюють 13см. Обчислити висоту піраміди.

57. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, один з катетів якого дорівнює 8см, а радіус описаного навколо кола, дорівнює 5см. Основою висоти цієї піраміди є середина гіпотенузи. Висота піраміди дорівнює 12см. Обчислити бічні грані піраміди.

58. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 12см, а висота, проведена до неї, дорівнює 8см. Обчислити висоту піраміди.

59. В основі піраміди лежить прямокутник сторони якого дорівнюють 6 і 8см. Всі бічні ребра піраміди дорівнюють 13см. Обчислити висоту піраміди.

60. В основі піраміди лежить прямокутник, одна із сторін якого дорівнює 6см. Всі бічні ребра піраміди дорівнюють 13см, а її висота 12см. Обчислити другу сторону піраміди.

61. В основі піраміди лежить прямокутник, сторони якого дорівнюють 6 і 8см. Основою висоти піраміди є точка перетину діагоналей цього прямокутника. Висота піраміди дорівнюють 12см. Обчислити бічні ребра піраміди.

62. В основі піраміди лежить прямокутник, одна з сторін якого дорівнює 8см, а площа 48см². Всі бічні ребра піраміди дорівнюють 13см. Обчислити висоту піраміди.

63.* Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює b і нахилене до площини основи під кутом . Визначити площу основи піраміди.

64.* В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Всі бічні ребра піраміди дорівнюють l і нахилені до площини її основи під кутом . Визначити площу основи піраміди.

65.* В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим кутом а*. Всі бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кут . Визначити площу основи піраміди.

66.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з гострим кутом а* при вершині. Всі бічні ребра піраміди дорівнюють l і утворюють з площиною її основи кут . Визначити площу основи піраміди.

67.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з гострим кутом а* при вершині. Висоти всіх бічних граней піраміди дорівнюють l і утворюють з площиною її основи кут . Визначити бічну сторону даного трикутника.

68.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з гострим кутом а* при вершині. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом . Висота піраміди дорівнює Н. Визначити площу основи піраміди.

69.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Висоти всіх бічних граней дорівнюють l і утворюють з площиною її основи кут . Визначити площу основи піраміди.

70.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник, бічна сторона якого дорівнює l, а кут при основі . Всі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом . Визначити висоту піраміди.

71.* В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з основою а і гострим кутом при вершині а*. Всі бічні ребра піраміди утворюють з площиною її основи під кутом . Визначити висоту піраміди.

72. * Відстань від основи правильної чотирикутної піраміди до її бічного ребра дорівнює р, а бічне ребро її утворює з площиною основи кут . Визначити бічне ребро піраміди.

73.* В основі піраміди лежить прямокутник з стороною а і кутом а* між цією стороною і його діагоналлю. Всі бічні ребра піраміди утворюють з площиною її основи кут . Визначити висоту піраміди.