3.2 Методика и примеры решения задач
.
Рассмотрим примеры решения задач равновесия системы тел с применением указанных способов.
Пример 3.1
Найти реакции опор
и давление в промежуточном шарнире С
заданной на
рис. 3.2
конструкции, которая состоит из невесомых
угольника АС
и стержня
СВ.
На конструкцию действуют пар сил с
моментом М=50
кН, распределена
нагрузка с интенсивностью q=10
кН/м,
силы
и
.
Известны размеры
.
Решение
При рассмотрении
равновесия всей конструкции, как
абсолютно твердого тела, три уравнения
равновесия произвольной плоской системы
сил, которые действуют на систему тел,
будут содержать четыре неизвестные
реакции:
(см. рис. 3.2, а).
Для устранения статической неопределенности разделим систему в точке соединения С и рассмотрим равновесие каждой части конструкции отдельно.
Сначала рассмотрим
в состоянии равновесия стержень ВС,
так как на него кроме известной активной
силы, действует три неизвестные реакции
шарнира С и
гладкой поверхности в точке В
(см. рис. 3.2, б),
то есть задача равновесия стержня
является статически определенной.
Составим три уравнения равновесия действующей на стержень произвольной плоской системы сил, воспользовавшись основной формой условий равновесия:
Составляя последнее
уравнение, воспользуемся при нахождении
теоремой Вариньона о моменте
равнодействующей. Для этого разложим
силу
на составляющие, одна из которых
параллельна стержню, то есть линия ее
действия проходит через точку С
и ее момент
,
а другая
перпендикулярная к стержню и имеет
плечо относительно точки С,
равное расстоянию b;
ее момент
.
Рассмотрим теперь
равновесие угольника (рис. 3.2,
в), к которому кроме активных сил приложим
реакции
жесткого защемления в точке А,
и реакции
шарнира С,
направив последние противоположно
реакциям
балки ВС.
Действие распределенной нагрузки
заменим сосредоточенной силой
(
),
приложив ее посредине участка действия
нагрузки. Для плоской системы, которая
действует на угольник, также составим
три уравнения равновесия:
;
;
.
Рисунок 3.2
Учитывая, что
и
,
как силы взаимодействия, установим, что
системы шести составленных уравнений
содержат шесть неизвестных реакций, то
есть задача статически определена.
Решая систему этих уравнений, найдем из третьего уравнения:
(кН).
Теперь из первого и второго уравнения имеем:
;
.
Решаем уравнение
системы равновесия угольника, подставляя
туда вместо
значения
и
с полученными знаками:
В соответствии со
знаками реакций устанавливаем, что
реакции
и
направленные противоположно изображенным
на расчетных схемах направлениям.
С целью проверки правильности решения составим и развяжем одно из уравнений равновесия системы сил, действующих на всю конструкцию:
Следовательно, расчеты выполнены правильно.
Пример 3.2
На гладкой и блестящей горизонтальной поверхности стоит передвижная лестница, которая состоит из двух частей АВ и ВС, длиной 3м и весом Р = 120 Н каждая, соединенных шарниром С и веревкой ЕF так, что расстояние BF = АЕ = 1м. Центр веса каждой из частей АС, ВС находится в ее середине. В точке D на расстоянии CD = 0,6м стоит человек весом 720 Н. Определить реакции пола и шарнира и натяжение Т веревки EF, если угол ВАС = АВС = 45º.
Решение
Рассматривая
лестницу как одно твердое тело (рис.
3.3,а),
установим, что эта конструкция находится
в состоянии равновесия под действием
активных сил
веса каждой из частей лестницы и
веса человека, и реакций
гладкой и блестящей поверхности пола.
Эти силы составляют плоскую систему параллельных сил, для какого условия равновесия содержат два уравнения. Так, как в эту систему сил входит две неизвестные реакции, то задача равновесия лестницы является статически определенной. Составим уравнение равновесия этих сил:
.
Из этих уравнений находим:
.
а) б)
Рисунок 3.3
Теперь рассмотрим
равновесие части АС
лестницы
(рис. 3.3,б),
на которую кроме активной силы
веса действуют реакции
гладкой и блестящей поверхности,
веревки,
шарнира. Для произвольной плоской
системы сил составим уравнение равновесия:
Здесь применена вторая форма уравнений равновесия произвольной плоской системы сил, которая обеспечивает упрощение их решения, так как в каждом из уравнений, входит лишь одна неизвестная величина.
Определим неизвестные реакции, учитывая, что sin45º = cos45º = 0,707.
.
Выполним проверку, убедившись, что выполняется уравнение равновесия для сил, прилагаемых ко всей конструкции:
Отсюда, с учетом того, что, вычисляем:
Следовательно, расчеты выполнены правильно.