2.1.6 Распределенная нагрузка
В инженерных расчетах наряду с сосредоточенными силами, которые прилагаются к твердому телу в некоторой точке, встречаются силы, действие которых распределено по определенным участкам объема тела, его поверхности или линии.
Поскольку все аксиомы и теоремы статики формулируются для сосредоточенных сил, то необходимо рассмотреть способы перехода от распределенной нагрузки к сосредоточенным силам.
Рассмотрим некоторые простые случаи распределенной нагрузки тела параллельными силами, которые лежат в одной плоскости вдоль отрезка прямой.
Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, то есть величиной силы, которая приходится на единицу длины нагруженного отрезка. Единицей измерения интенсивности является Ньютон, поделенный на метр (Н/м). Интенсивность может быть постоянной (равномерно распределенная нагрузка) или изменяться по линейным и произвольным законам.
Равномерно распределенная нагрузка (рис. 2.5, а), интенсивность которой q является постоянной величиной, при статических расчетах заменяется одной сосредоточенной силой, модуль которой
где
–
длина нагруженного отрезка.
а ) б ) в)
Рисунок 2.5
Эта равнодействующая
сила
,
параллельная силам распределенной
нагрузки, направлена в направлении
распределенных сил и прикладывается
посредине нагруженного отрезка АВ.
Такая нагрузка имеет место при размещении на теле однородной балки длиной l с удельным весом q.
Распределенная нагрузка с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону (рис. 2.5, б), появляется, например, под действием давления воды на дамбу, когда нагружение на дамбу будет наибольшим возле дна водоема и является нулевым возле поверхности воды. При этом величина q интенсивности растет от нулевого значения к наибольшему значению qmax. Равнодействующая Q такой нагрузки определяется как вес однородной треугольной пластинки АВС, который пропорционален ее площади. Тогда величина этой равнодействующей:
.
(55)
Линия действия
равнодействующей силы
проходит через центр треугольника АВС
на расстоянии
от его вершины А.
Примером действия сил, распределенных вдоль отрезка прямой по произвольному закону (рис. 2.5, в), является нагрузка плоского перекрытия сугробом снега. Равнодействующая таких сил по аналогии с силой веса численно будет равняться площади фигуры, измеренной в соответствующем масштабе, а линия действия этой равнодействующей будет проходить через центр площади этой фигуры.
2.2 Примеры решения задач равновесия тела под действием плоской системы сил
Пример 2.1
Однородная балка
(рис. 2.6,
а) весом G=1
кH, к которой
в точке
на расстоянии
подвешен груз Р
весом 2 кН,
закреплена в точке А
с помощью
неподвижного шарнира и удерживается в
состоянии равновесия под углом α=45º к
вертикали закрепленной в точке В
нитью,
переброшенной через неподвижный блок
Е с подвешенным на ее конце грузом Q.
Определить опорные реакции шарнира А
и вес груза
Q,
если наклон нити к вертикали составляет
угол
.
Решение
Рассмотрим
равновесие балки, на которую действуют
активные силы
и сила
,
приложенная в точке
и направленная вдоль нити (см. рис. 2.6, б).
а) б)
Рисунок 2.6
Действие неподвижного
шарнира заменим двумя составляющими
реакции и для уравновешенной произвольной
плоской системы сил
~ 0
составим уравнения равновесия:
.
Решая эту систему уравнений, найдем из третьего уравнения системы:
(кН).
Из первого уравнения системы найдем:
(кН).
Из второго уравнения системы имеем:
(кН).
Пример 2.2
Определить реакции
жестко закрепленной Т-образной балки,
изображенной на рис.2.7,а,
которая находится в равновесии под
действием равномерно распределенной
нагрузки интенсивности q=5
кН/м,
сосредоточенной силы F=10 кH,
наклоненной под углом
к вертикали, и пары сил с моментом
.
Рисунок 2.7
Решение
Рассмотрим
равновесие консольной Т-образной балки
.
Равномерно распределенную нагрузку
заменим сосредоточенной силой
,
которую приложим посредине участка BD,
направив ее параллельно силам
распределенной нагрузки в том же
направлении. Вычислим, что
.
Действие жесткого защемления на балку
заменим двумя силовыми реакциями
и реактивной парой сил с моментом
(рис. 2.7,
б). Составим уравнение равновесия
произвольной плоской системы сил,
действующих на балку:
.
Решая эту систему уравнений, находим:
