1.1.4 Проекция силы на ось
Проекция силы на ось – это взятая с определенным знаком величина, численно равная расстоянию между проекциями на эту ось начала и конца вектора силы.
Знак проекции будет положительным, если угол между направлением силы и положительным направлением оси острый, и отрицательным, если этот угол – тупой. Тогда для сил, изображенных на рис. 1.13, получим:
Fx= аb = F∙cos α ; Qx= -ed = -Q∙cos β;
Fy= а1 b1 = F∙sin α ; Qy= e1d1 =Q∙sin β;
Рисунок 1.13
Проекция
силы на ось равна величине самой силы,
если сила параллельна оси, поэтому
проекция силы
на ось Оу
будет равной:
.
Проекция силы на ось равна нулю, если сила перпендикулярна оси, поэтому проекция силы на ось Ох будет равной: Px=mn=0.
Error: Reference source not foundПроекцией
силы
на плоскость Оxy называется вектор
,
размещенный между проекциями на эту
плоскость начала и конца вектора силы
(рис. 1.14). Модуль вектора проекции силы
на плоскость
где
– угол между направлением силы и
плоскостью.
Рисунок 1.14
Следовательно, в случае, изображенном на рис.1.14, в результате двойного проектирования найдем:
1.1.5 Система сходящихся сил
Система сил, линии действий которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.
Система сходящихся сил имеет равнодействующую, которая равняется геометрической сумме сил системы и проходит через точку пересечения их линий действия, т.е.:
(1.5)
Модуль равнодействующей
, (1.6)
выражается через
её проекции на оси
:
(1.7)
Так как система сходящихся сил сводится к равнодействующей, то для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы ее равнодействующая равнялась нулю, т.е. условие равновесия системы сходящихся сил имеет вид:
.
Если система сходящихся сил находится в равновесии, то сумма проекций всех сил системы на каждую из осей координат равняется нулю. Поэтому, с учетом (1.7) уравнения равновесия пространственной системы сходящихся сил будут иметь вид:
. (8)
В случае плоской системы сходящихся сил, лежащих в координатной плоскости Oxy, используют только два из трех уравнений равновесия:
.
(9)
1.1.6 Теорема о трех силах
Если тело под действием трех непараллельных сил находится в равновесии, то все силы системы лежат в одной плоскости, а их линии действия пересекаются в одной точке.
С помощью
этой теоремы в некоторых случаях можно
определить направление реакции
неподвижного шарнира, не представляя
ее в виде двух взаимно перпендикулярных
составляющих. Например, для балки АВ,
которая закреплена в точке А
неподвижным цилиндрическим шарниром
и опирается в точке D
на выступ (рис. 1. 15), линия действия
реакции
неподвижного шарнира будет проходить
через центр шарнира и точку Е
пересечения силы
веса балки и реакции
гладкой поверхности.
Рисунок 1.15
1.2 Методика и примеры решения задач
Решение задач статики на равновесие материальных объектов проводится по такому алгоритму:
1) выбрать объект (твердое тело, отдельную точку), равновесие которого следует рассматривать (в дальнейшем – тело);
2) приложить активные силы, которые действуют на это тело;
3) применив аксиому связей, освободить тело от связей и показать их реакции;
4) для полученной уравновешенной системы сил составить уравнения равновесия;
5) определить из этих уравнений неизвестные величины.
Когда в задаче количество неизвестных величин превышает количество уравнений равновесия, то задача является статически неопределимой. Для устранения статической неопределимости необходимо добиться равенства количества неизвестных величин числу уравнений равновесия действующей на конструкцию системы сил. Этого можно достигнуть или уменьшением количеств неизвестных величин, применив теорему о трех силах, или увеличением количества уравнений равновесия, добавив, например, к уравнениям равновесия зависимость силы трения от нормальной реакции при наличии в качестве связи шероховатой поверхности или уравнения равновесия для части элементов составной конструкции.
Пример 1.1
Электрическая
лампочка весом
подвешена с помощью двух шнуров АВ
и АС,
прикрепленных к стене и к потолку (рис.
1.16). Определить реакции шнуров
и
,
если углы наклона шнуров к потолку и
стене соответственно равняются
.
Весом шнуров пренебречь.
Решение
Рассмотрим равновесие узла А, на который действуют: сила веса (активная сила) и реакции и шнуров (рис.1.16,а) направленные вдоль шнуров к точкам В и С закрепления.
На рис. 1.16,б показана схема размещения в выбранной системе координат уравновешенной системы сходящихся сил, действующих на узел А.
Рисунок 1. 16
Составим уравнение равновесия этой системы сил:
Решая эти уравнения, найдем:
Пример 1.2
Котел
с равномерно распределенным по длине
весом
кН и радиусом
м лежит на выступах каменной кладки
(рис.1.17). Расстояние между стенками
кладки
м. Пренебрегая трением, определить
давление котла на кладку в точках
и
.
а) б)
Рисунок 1.17
Решение
Котел
находится в состоянии равновесия под
действием трех сил: силы веса котла
и реакций
и
гладкой поверхности, приложенных в
точках
,
и направленных перпендикулярно
касательным к круговой поверхности
котла в этих точках (рис. 1.17,б). Реакции
,
проходят через центр
круга котла и наклоненные к горизонтали
под углами
(см. рис. 1.17,б)
Для уравновешенной плоской системы сходящихся сил составим уравнение равновесия (выбранные оси координат показаны на рис. 1.17,б):
Тригонометрические
функции угла
найдем, рассмотрев треугольник
(рис. 1.17,б):
.
Решая
систему уравнений равновесия, найдем
из первого уравнения
,
а из второго получим:
кН.
Пример 1.3
Балка
АВ закреплена
в точке А
с помощью неподвижного шарнира и
удерживается в горизонтальном положении
подвижным цилиндрическим шарниром в
точке В
(рис. 1.18). В середине балки действует
сила Р=2 кН
под углом
к горизонту. Определить реакции опор,
взяв размеры из рисунка
и пренебрегая весом балки.
а ) б)
Рисунок 1.18
Решение
Балка
находится в равновесии под действием
трех сил: активной силы
и реакций
и
.
Реакция
подвижного шарнира В
направлена перпендикулярно
опорной поверхности по вертикали.
Реакция
шарнира А
согласно теореме о трех силах пройдет
через точку D
пересечения сил
и
,
создав угол
с горизонталью.
Величину
угла
найдем, рассмотрев прямоугольный
треугольник АВD,
в котором катет
м
(как катет равнобедренного треугольника
ВСD), а
гипотенуза
м.
Тогда
.
Перенесем все силы в точку D (рис. 1.18,б) и составим уравнение равновесия плоской системы совпадающих сил:
Отсюда получим:
кН;
кН.
Пример 1.4
Груз
весом 1 кН подвешен в точке
D, как
показано на рис. 1.19. Крепление стержней
в точках А, В, С и
D шарнирные. Определить реакции опор А,
В и С.
Решение
Рассмотрим
равновесие узла D,
где сходятся три стержня, которые
удерживают груз. На этот узел действует
пространственная система сходящихся
сил, которая состоит из активной силы
и реакций стержней
(рис. 1.19). Реакции стержней направим
вдоль стержней от узла D,
считая стержни растянутыми.
Рисунок 1.19
Составим уравнения равновесия этой системы сил:
Из
первого уравнения вытекает, что
,
поэтому два других уравнения приобретут
вид:
Умножив
первое уравнение на
,
а второе
и взяв их разницу, найдем:
(кH).
Тогда
(кН).
Знаки показывают, что стержень DС растянут, а стержни АD и ВD сжаты.