5.4 Определение модуля и направления ускорения Кориолиса Правило Жуковского

Как видно из формулы (156), ускорение Кориолиса равняется удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости и линейной относительной скорости точки.

Модуль вектора кориолисового ускорения определим по правилам нахождения модуля векторного произведения:

(158)

где то есть – угол между векторами переносной угловой скорости и относительной скорости точки.

Из формулы (158) видно, что коріолісове ускорение будет равняться нулю в таких случаях:

• когда , то есть, когда переносное движение является поступательным или, если переносная угловая скорость в данный момент времени превращается в нуль;

• когда , то есть движение точки не является сложным, или если относительная скорость точки в данный момент времени является нулевой;

• когда или , то есть когда вектор относительной скорости точки является параллельным осе вращения подвижной системы отсчета (тела).

Направление кориолисового ускорения определяется направлением векторного произведения векторов и , то есть коріолісове ускорение будет направлено перпендикулярно плоскости векторов и в направлении, откуда поворот на меньший угол от к видно таким, которое происходит против хода часовой стрелки (рис. 109).

Рисунок 109

По правилу Жуковского для нахождения направления коріолісового ускорения необходимо спроектировать вектор относительной скорости на плоскость П, перпендикулярную к оси переносного вращения, а затем повернуть эту проекцию на угол 90о в направлении переносного вращения (см. рис. 109).

5.5 Примеры решения задач сложного движения точки

При решении задач кинематики сложного движения точки важным является правильное деление абсолютного движения точки на относительную и переносную составляющие. Для установления вида относительного движения точки нужно мысленно остановить переносное движение (движение тела, которым двигается точка), а для установления характера переносного движения мысленно останавливают относительное движение точки.

Кинематические характеристики переносного движения следует определить по правилам нахождения соответствующих характеристик точек твердого тела.

При нахождении относительной скорости и относительного ускорения точки подвижную систему координат следует считать неподвижной и применять формулы кинематики точки.

При использовании формулы (157) для определения абсолютного ускорения точки следует помнить, что в случае поступательного переносного движения эта формула упрощается к виду

(159)

так как Кориолисово ускорение при этом равняется нулю.

Пример 21

На тележке А, который двигается из состояния покоя за горизонталью вправо с постоянным ускорением м/с2 (рис. 110), размещен электродвигатель, ротор которого вращается за законом радиан. Радиус ротора . Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М, которая лежит на ободе ротора, в момент времени t = 1c, если в этот момент точка М находится в положении, показанном на рисунку 110.

Рисунок 110

Решение

Для точки М ободу ротора поступательное движение тележки является переносным, а вращение ротора вокруг его оси является относительным. Выберем неподвижную систему отсчета O1x1y1, а подвижную систему Oxy свяжем с подвижной тележкой. Абсолютным будет движение точки М в отношении к неподвижной системе O1x1y1.

Абсолютную скорость точки М определим за зависимостью (151)

.

Переносная скорость точки М равняется скорости тележки в его прямолинейном поступательном равноускоренном движении. Так, как начальная скорость тележки , то , и при времени скорость . Вектор направлен параллельно осе вправо. Относительную скорость найдем как скорость точки М при вращении ротора с угловой скоростью . При угловая скорость ротора . Тогда относительная скорость . Вектор направлен перпендикулярно ОМ в направлении вращения ротора.

Модуль абсолютной скорости точки М определим за зависимостью (152):

.

Учитывая, что угол между векторами и составляет 60о, одержимо

.

Так, как переносное движение является поступательным, то для нахождения абсолютного ускорения точки М применим зависимость (159)

.

Здесь переносное ускорение равняется ускорению тележки, то есть м/с2. Поскольку движение тележки ускорено, то направление вектора совпадает с направлением .

Относительное ускорение точки М при вращении ротора имеет две составляющие:

.

Модули этих составляющих определим за формулами касательного aф и нормального ускорений точки тела, которое вращается:

, .

Здесь , потому касательное ускорение точки М в ее относительном движении будет иметь значение

.

Поскольку знаки и одинаковые (вращение ускорено), и векторы и будут сонаправлеными. Нормальное ускорение точки в относительном движении будет таким: . Вектор направлен к центру О вращение ротора.

Величину абсолютного ускорения точки М найдем за его проекциями на осе подвижной системы координат:

.

Поскольку проекция вектора абсолютного ускорения на ось х равняется нулю, то вектор в данный момент времени направлен за вертикалью вверх.

Пример 22

Пластина D (рис. 111) вращается вокруг неподвижной оси за законом , советов. По пластине вдоль прямолинейного желоба двигается точка М соответственно закону, см.

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени .

Рисунок 111

Решение

Будем считать, что в расчетный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью пластины D. Положение точки М на пластине D при определяется расстоянием

.

Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму переносной и относительной скоростей:

.

Относительная скорость:

; при имеем: см/с.

Положительный знак величины показывает, что вектор (рис. 112, а) направлен в сторону роста .

а) б)

Рисунок 112

Переносная скорость:

,

где – радиус круга, который описывает та точка тела, с которой в данное мгновение совпадает точка М, а – угловая скорость тела.

При имеем .

Окончательно м/с.

Отрицательный знак в величине значит, что вращение треугольника вокруг оси происходит противоположно направлению отсчета угла , потому вектор направлен вдоль оси вниз (см. рис. 112, а). Вектор направлен за касательной к кругу радиуса R в сторону вращения тела.

Так как и взаимно перпендикулярные, модуль абсолютной скорости точки М:

.

Абсолютное ускорение точки равняется геометрической сумме относительного, переносного и коріолісового ускорение:

.

или в развернутом виде:

.

Модуль относительного касательного ускорения:

.

При ;

Отрицательный знак свидетельствует, что вектор направлен в сторону отрицательных значений (см. рис. 112, бы).

Относительное нормальное ускорение:

так как относительное движение точки прямолинейно.

Переносное касательное ускорение:

где – угловое ускорение тела D.

При

Одинаковые знаки и указывают на то, что вращение тела D ускорено.

Тогда:

Вектор направлен в ту сторону, что и вектор

Переносное нормальное ускорение:

Вектор направлен к оси вращения тела D, то есть к центру О1 круга радиуса R.

Ускорение Кориолиса:

.

Модуль ускорения Кориолиса:

Так как

то .

В соответствии с правилом векторного произведения вектор направлен перпендикулярно к плоскости треугольника D в том направлении, что и векторы и .

Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций векторного уравнения:

,

Окончательно