4.2 Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки

α

Рассмотрим сложное движение точки М, которая в относительном движении перемещается относительно подвижной системы координат Oxyz и осуществляет абсолютное перемещение относительно неподвижной системы отсчетa (рис. 108).

Рисунок 108

Положение точки М в отношении к неподвижной системе координат в каждый момент времени определяется зависимостью:

(148)

где – радиус-вектор точки О начала подвижной системы координат Oxyz,

– радиус-вектор точки М в отношении к подвижной системе координат Oxyz.

Считая, что координаты точки М в подвижной системе координат будут x, y, z, определим:

.

Дифференцируя зависимость (148) по времени, найдем абсолютную скорость точки

. (149)

Абсолютная производная от вектора , который изменяется в подвижной системе координат, определяется формулой (147)

где – угловая скорость вращения подвижной системы координат.

– относительная скорость точки.

Подставляя эти значения в (149), получим:

,

где – скорость начала подвижной системы координат относительно неподвижной системы координат.

Учитывая, что переносная скорость, это скорость точки подвижной системы, через которую в данный момент проходит подвижная точка m, то есть

(150)

будем иметь

(151)

Абсолютная скорость точки при ее сложном движении равняется геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Направлены векторы и по касательным к соответствующим траекториям. Модуль абсолютной скорости точки определяется формулой

(152)

где то есть  – угол между векторами .

0. 4.3 Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки

Абсолютное ускорение точки определим, дифференцируя по времени формулу (151)

(153)

Абсолютную производную вектора относительной скорости найдем за формулой (147)

.

В этом выражении относительная производная вектора по времени является ускорением точки М по отношению к подвижной системе координат, то есть относительным ускорением:

Тогда

. (154)

Абсолютная производная от вектора переносной скорости, согласно с формулой (150)

или учитывая, что – ускорение начала подвижной системы координат, – угловое ускорение подвижной системы координат, получим:

Так как переносное ускорение – это ускорение точки тела (подвижной системы), которая совпадает с подвижной точкой М, то

тогда

(155)

Подставив (154) и (155) в (153), получим:

.

Ускорение, которое определяется слагаемым _, называют кориолисовым ускорение и помечают

. (156)

Следовательно, имеем

. (157)

Эта формула выражает теорему Кориолиса; согласно с которой абсолютное ускорение точки при ее сложном движении равняется геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и коріолісового.

Каждая из составляющих абсолютного ускорения является кинематической характеристикой изменения со временем вектора абсолютной скорости точки. Да, переносное ускорение - это характеристика изменения модуля и направления вектора переносной скорости в переносном движении, относительное ускорение характеризует изменение вектора относительной скорости в относительном движении, а коріолісове ускорение появляется как характеристика изменения вектора переносной скорости в относительном движении и вектора относительной скорости в переносном движении.