1.3 Определение скорости точки

Скорость точки характеризует изменение с течением времени положения и направления движения точки в выбранной системе отсчета.

1. Вектор скорости точки

Вектор скорости точки равняется первой производной по времени от радиуса-вектора точки. Направлен этот вектор по касательной к траектории в направлении движения точки (рис.3), т.е:

Рисунок 3

2. Формулы для определения скорости точки при координатном способе задания движения

Если движение точки задано координатным способом, то скорость точки определяется через проекции вектора скорости на оси координат:

Проекции вектора скорости на декартовы оси координат равняются первой производной по времени от соответствующих координат точки:

; .

По этим проекциям можно определить модуль вектора скорости:

,

и его направляющие косинусы:

3. Скорость точки при естественном способе задания движения

При натуральном способе задания движения точки её скорость определяют по следующей зависимости:

Проекцию вектора скорости на касательную ось Мτ называют алгебраической скоростью точки. Знак скорости алгебраической зависит от направления движения точки: если то точка двигается в положительном направлении отсчета дуговой координаты, а если то – в отрицательном. Модуль вектора скорости отличается от алгебраической скорости только отсутствием знака, потому будем обозначать эти две величины одним и тем же символом .

1.4 Определение ускорения точки

Ускорением точки называется векторная величина, которая характеризует изменение со временем модуля и направления вектора скорости точки.

1. Вектор ускорения точки

Ускорение точки в данный момент времени равняется первой производной по времени от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки:

Рисунок 4

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости (рис.4) и направлен в сторону вогнутости траектории.

2. Формулы для определения ускорения точки при координатном способе задания движения

При координатном способе задания движения ускорение точки определяют через его проекции на координатные оси:

.

Проекции вектора ускорения точки на декартовы оси координат определяются формулами: ;

; ;

По проекциям ускорения определим его модуль

и его направляющие косинусы:

3. Ускорение точки при естественном способе задания движения

Если движение точки задано естественным способом, то ускорение точки определяют через его проекции на связанные с подвижной точкой М естественные оси координат: касательную Мτ, главную нормаль Мn и бинормаль Mb (рис. 4), направления которых установлены ранее:

Составляющая вектора ускорения в направлении бинормали равняется нулю, то есть .

Касательное ускорение направлено по касательной оси в направлении увеличения координаты, если алгебраическая скорость точки увеличивается, или в направлении уменьшения, если уменьшается, то есть касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости точки. Проекция касательного ускорения на ось :

.

Нормальное ускорение направлено по нормали к касательной оси в направлении вогнутости траектории; оно характеризует

изменение вектора скорости по направлению.

Проекция нормального ускорения на главную нормаль n:

.

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора ускорения находится по формуле

.