2.2.2. Швидкість та прискорення. Нормальне та тангенціальне прискорення

Для характеристики руху матеріальної точки вводиться поняття швидкості.

Середня швидкість є векторною фізичною величиною, яка дорівнює відношенню вектора переміщення до часу, за який це переміщення відбулося:

.

Якщо визначити швидкість у даний момент часу, тобто взяти границю від за умови , то будемо мати миттєву швидкість:

або .

Середню швидкість можна визначити й так:

,

де – весь шлях, який пройшла МТ за весь час .

При зменшенні шлях буде наближатись до , тоді модуль миттєвої швидкості буде:

, .

Оскільки січна в границі співпадає з дотичною, то вектор миттєвої швидкості спрямований вздовж дотичної до точки траєкторії. Отже, миттєва швидкість є швидкістю в даний момент часу в даній точці траєкторії.

Тоді шлях, пройдений МТ визначається рівнянням:

.

Прискорення – векторна фізична величина, яка показує зміну швидкості за одиницю часу.

Середнє прискорення:

.

Миттєве прискорення:

, .

У випадку криволінійного руху швидкість може змінюватись не тільки за величиною, а й за напрямком (рис. 2.2, а), тобто:

Тоді перший доданок називається тангенціальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за величиною (рис. 2.2, б) і визначається за формулою:

;

а другий доданок – нормальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості за напрямком (рис. 2.2,б) і визначається за формулою:

,

де – радіус кривизни траєкторії (рис. 1.2).

Випадок, який показано на рис. 2.2, а, відповідає прискореному руху, а на рис. 2.2, б – сповільненому.

Повне прискорення є векторною сумою тангенціального і нормального прискорень, а модуль його визначається за теоремою Піфагора:

; модуль .

Наведемо деякі значення прискорень: протон у прискорювачі рухається по колу з нормальним прискоренням порядку 10¹⁶ м/с²; лінійне прискорення реактивних снарядів досягає ~30 м/с²; прискорення хокейного м’яча – ~10 м/с²; прискорення автомобіля, який рухається з місця, досягає 1…2 м/с². Кутова швидкість ротора турбогенератора складає 314 рад/с, на відстані 0,5 м від осі обертання прискорення точок досягає ~5·10⁴ м/с²; точки обода колеса велосипеда мають нормальне прискорення ~20 м/с².

Формула шляху при рівнозмінному русі ( ):

, або при .

Тоді формула шляху:

; ;

Отже, формула шляху при рівнозмінному русі:

.

2.2.3. Поступальний та обертальний рухи. Рух по колу. Кутова швидкість та кутове прискорення, їх зв’язок з лінійними величинами. Рівняння руху точки по колу

Механічний рух можна класифікувати за видами траєкторії та за зміною швидкості (табл. 2).

Поступальний рух є рухом АТТ (рис. 2.3), при якому всі точки тіла описують паралельні траєкторії та мають однакові швидкість та прискорення в даний момент часу. Тому рух АТТ можна розглядати як рух МТ.

О бертальний рух є рухом АТТ (рис. 2.4), при якому всі точки тіла описують траєкторії у вигляді кола, центри яких лежать на прямій, яка називається віссю обертання. Площини, в яких знаходяться кола, є паралельними між собою та перпендикулярними до осі обертання.

Кінематичні характеристики обертального руху.

Д ля описання обертального руху застосовується полярна система координат, яка включає: полюс (т. О) та полярну вісь (промінь ОN), а положення МТ визначається радіус-вектором та кутом між полярною віссю та радіус-вектором (рис. 2.5).

Кутова швидкість – векторна фізична величина , що дорівнює першій похідній кута повороту радіус-вектора точки за часом:

, .

Кутове прискорення є векторною фізичною величиною , що дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом:

, .

Вектори кутового переміщення і кутової швидкості є аксіальними (рис. 2.6), тобто спрямованими вздовж осі; їхній напрям встановлюється за правилом правого гвинта. Модуль вектора кутового переміщення дорівнює куту повороту радіус-вектора .

Кутове прискорення є також аксіальним вектором, напрям якого збігається з напрямом кутової швидкості (рис. 2.6), якщо модуль кутової швидкості зростає з часом. Кутове прискорення спрямоване у протилежному напрямку до вектора кутової швидкості , якщо модуль кутової швидкості зменшується з часом.

Зв’язок кутових та лінійних величин.

Нехай МТ пройшла за час Δt по колу з радіусом R шлях ΔS (рис. 2.7), а радіус-вектор повернувся на кут Δφ. Якщо довжина шляху:

,

то лінійна швидкість: ,

а бо .

Тоді тангенціальне прискорення буде:

,

а нормальне прискорення буде:

, .

Для руху по колу вводять поняття періоду та частоти обертання.

Період є часом, за який МТ здійснює один повний оберт, тобто радіус-вектор точки повертається на кут 2π. Тоді у випадку рівномірного руху:

.

Частота є кількістью повних обертів N, що здійснює МТ за одиницю часу:

.

За один оберт: .

Для рівноприскореного ( ) обертального руху можна записати формули кутової швидкості та рівняння руху:

; .