2.6. Елементи механіки суцільних середовищ

2.6.1. Механічні властивості твердих тіл. Види деформацій, пружність та повзучість. Закони Гука

Деформаційні явища пов’язані із зміною форми та розмірів тіл під дією сил, прикладених до нього. Деформуватися можуть всі реальні тіла, в тому числі будівельні матеріали та конструкції. Такі важливі характеристики матеріалів як міцність та довговічність певною мірою залежать від їх деформаційних властивостей. Деформаційні властивості будівельних матеріалів, конструкцій та споруд можна розрахувати лише, знаючи закони деформацій, які розглядаються в даному розділі.

Для розгляду питань розділу механіки суцільних середовищ введемо деякі фізичні моделі та поняття.

Суцільне середовище – речовина, яка неперервно розподілена в просторі.

Деформація – це зміна форми або об’єму тіла внаслідок дії будь-яких причин (прикладання сили, теплової дії тощо).

Існує два граничних випадки деформацій:

пружна – деформація, яка зникає після припинення дії прикладених сил;

пластична – деформація, яка повністю або частково зберігається в тілі після припинення дії зовнішніх сил.

Вид деформації залежить від:

• природи тіла;

• прикладеної сили.

В наслідок дії зовнішньої сили відбувається зміщення частинок тіла (атомів і молекул) відносно положення рівноваги і в тілі виникають сили пружності. Сили пружності мають електромагнітну природу та завжди спрямовані в сторону, зворотну до деформації.

На відстані, меншій за ефективний розмір молекул ( ), виникають дуже сильні сили відштовхування (рис. 2.25). На відстані, більшій за ефективний розмір молекул ( ), виникають сили притягання, які є дещо меншими за сили відштовхування. Тому стиснути тіло буває набагато важче, ніж розтягнути. При існує так званий рівноважний стан.

Деформації реального тіла завжди є пластичними, але якщо величина залишкової деформації є дуже малою, то нею можна знехтувати та розглядати випадок пружної деформації, що ми і будемо надалі робити.

Розрізняють такі деформації:

• розтягу (стиску);

• зсуву;

• кручення;

• згину.

Дві останні деформації можуть бути зведені до деформації розтягу (стиску) та зсуву.

Введемо нові поняття.

Механічне напруження є відношенням сили, що діє на тіло, до площі поперечного перерізу тіла S:

, .

Нормальне напруження є напруження, при якому сила прикладена перпендикулярно до поверхні.

Тангенціальне напруження – напруження, при якому сила прикладена рівномірно вздовж поверхні.

Розглянемо деформацію розтягу (стиску) на прикладі однорідного стрижня довжиною з та площею поперечного перерізу . Якщо один з кінців стрижня закріпити, а до другого кінця прикласти силу (рис. 2.26), то довжина стрижня зміниться на величину абсолютної деформації:

.

З розуміло, що при розтягуванні абсолютна деформація має додатне значення ( ), а при стисканні – від’ємне( ).

Однак, абсолютна деформація не вказує, яку частину становить зміна довжини стрижня від початкового його розміру. Кількісною мірою, яка характеризує величину деформації, є відносна деформація – відношення абсолютної деформації до початкового розміру тіла.

Так, повздовжня відносна деформація дорівнює:

.

Поперечна відносна деформація дорівнює:

,

де – початковий діаметр стрижня, –абсолютна поперечна деформація.

Повздовжня та поперечна деформації завжди мають різні знаки, бо, наприклад, при деформації розтягу довжина стрижня буде збільшуватись, а діаметр зменшуватись (рис. 1.26), і навпаки. Отже, зв’язок між цими деформаціями виражає формула Пуассона:

,

де – коефіцієнт Пуассона, який залежить від властивостей матеріалу.

Р. Гук¹ в 1660 р. експериментально встановив, що для малих деформацій відносна деформація розтягу (стиску) є прямо пропорційною прикладеній силі:

.

А бо закон Гука можна виразити так: поперечне механічне напруження є прямо пропорційним повздовжній відносній деформації:

.

В останніх двох формулах Е є коефіцієнтом пропорційності, який називається модулем Юнга². Фізичний зміст модуля Юнга випливає із закону Гука: модуль Юнга чисельно дорівнює механічному напруженню, яке викликає відносну деформацію, рівну одиниці ( ). Модуль Юнга є характеристикою матеріалу та вимірюється у Н/м².

З наведених вище формул можна отримати ще один вираз закону Гука:

, або .

Якщо позначити коефіцієнт пружності матеріалу , то закон Гука можна записати та сформулювати так: абсолютна деформація стрижня при розтягу (стиску) є пропорційною прикладеній силі :

.

Для сили пружності, яка виникає у стрижні, закон Гука можна записати так:

.

Р озглянемо закон Гука для деформації зсуву. Нехай до балки, яка має форму правильного паралелепіпеда, прикладена вздовж однієї з поверхонь сила (рис. 2.27), а нижня грань буде закріпленою. Тоді відносна деформація зсуву визначається за формулою:

,

де – абсолютний зсув паралельних шарів тіла відносно один одного (рис. 2.27); – відстань між шарами.

Для незначних деформацій (для малих кутів зсуву) . Тоді закон Гука для зсуву має формулу:

,

де – тангенціальне напруження, – модуль зсуву.

Якщо покласти, що =1, то , тобто в межах пружності модуль зсуву дорівнює дотичній напрузі, яка виникла б при відносному зсуві, що дорівнює одиниці.

Деформації реальних твердих тіл підлягають закону Гука лише при малих напруженнях та невеликих деформаціях. Для пояснення процесів, які відбуваються в твердому тілі при збільшенні напруження, розглянемо якісну, встановлену експериментально, діаграму напруження (залежність відносної деформації від механічного напруження) для металевого стрижня (рис. 2.28).

На ділянці 0-1 діаграми відносна деформація пропорційно залежить від механічного напруження та повністю відповідає закону Гука до значення напруження – межі пропорційності. Ділянка діаграми 1-2 відповідає пружній деформації, але залежність не є пропорційною, а значення напруження є межею пружності. Область діаграми І (рис. 2.28) представляє собою область пружних деформацій, тобто в цій області після припинення дії сили не виникають залишкові деформації і тіло повертається до початкових розмірів вздовж лінії 2-1-0.

З а межею пружності при подальшому збільшенні навантаження в тілі (ділянка графіка 2-3) виникають залишкові деформації і після припинення дії сили тіло повертається в попередній стан вздовж паралельної кривої 3-О^/. Значення механічного напруження , при якому з’являється залишкова деформація (О-О^/), називається межею текучості. Отже, після збільшення навантаження вище за межу пружності тіло втрачає властивість пружності та поводить себе як пластичне.

Після межі текучості (точка 3) для пластичних тіл спостерігається збільшення деформації без росту напруження, тобто на горизонтальній ділянці 3-4 тіло починає „текти”. Однак, через те, що прикладена сила залишається незмінною, а площа стрижня завдяки видовженню зменшується, то механічна напруга дещо збільшується (ділянка 4-5). Значення максимального механічного напруження , при якому ще не виникає руйнування тіла, називається межею міцності, що відповідає точці 5 на діаграмі. Область ІІ на графіку (рис. 2.28) називається областю пластичних деформацій. За межею міцності після точки 5 (область ІІІ) зразок руйнується.

Відзначимо, що матеріали, для яких область текучості ІІ є значною, називаються в’язкими (пластичними). Матеріали, для яких область текучості практично відсутня та відбувається руйнування тіла (за точкою 2, рис. 2.28) називаються крихкими. Діаграма напруження для реальних твердих тіл залежить від різних факторів. Одне й те саме тверде тіло може при короткочасній дії сили вести себе як крихке, а при досить тривалій, але слабкій дії буде пластичним.