2.5.4. Гравітаційне поле та його характеристики. Зв’язок напруженості поля з його потенціалом

І. Ньютон, вивчаючи рух небесних тіл, прийшов до висновку, що всі тіла притягуються одне до одного і величина цієї сили дорівнює:

,

де – гравітаційна стала, яка чисельно дорівнює силі взаємодії між тілами масами 1 кг на відстані 1 м; і – маси тіл, а – відстань між їх центрами. Взаємодія між тілами передається через гравітаційне поле. Обмеження закону гравітаційної взаємодії є  < 10^-15 м (розмір ядра атома).

Гравітаційне поле є видом існування матерії, через яку передається взаємодія між тілами. Гравітаційне поле існує у просторі і часі об’єктивно і може діяти на наші органи відчуття, проявлятись за дією на тіла (наприклад, покази терезів є результатом дії притягання тіл гравітаційним полем Землі).

Гравітаційне поле є силовим потенціальним полем. Для характеристики гравітаційного поля вводять два параметри: силову характеристику – напруженість поля та енергетичну характеристику поля – потенціал.

Р озглянемо взаємодію тіла масою , яке утворює гравітаційне поле, та розміщену в ньому одиничну пробну масу (рис. 2.23). Згідно з законом всесвітнього тяжіння у векторній формі:

;

або:

.

Величина в правій частині останнього рівняння є однозначною характеристикою поля, оскільки вона не залежить від пробної маси , а визначається тільки масою та радіус-вектором точки її гравітаційного поля.

Тоді позначимо:

;

або:

.

Вектор є напруженістю гравітаційного поля, тобто силовою характеристикою, яка дорівнює відношенню сили, з якою поле діє на розміщену в даній точці одиничну пробну масу , до величини цієї маси.

Отримаємо одиницю вимірювання напруженості гравітаційного поля:

,

тобто ми отримали одиницю вимірювання прискорення.

Через те, що для Землі напруженість поля чисельно дорівнює прискоренню вільного падіння , то сила тяжіння, з якою Земля діє на розміщене в її полі тіло, дорівнює:

.

Розглянемо елементарну роботу з переміщення пробної одиничної маси у полі тяжіння тіла з масою з точки 1 в точку 2 (рис. 2.24).

.

Через те, що кут між та дорівнює 180^о, то:

.

Повна робота:

;

.

Отже, затрачена робота в полі сил тяжіння не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки початковим та кінцевим положеннями тіла, тобто сили тяжіння є консервативними, а поле тяжіння є потенціальним.

Введемо позначення для потенціальної енергії тіла одиничної маси в гравітаційному полі тіла масою .

Поділимо вираз для потенціальної енергії на величину :

.

Отже, потенціал поля тяжіння є скалярною величиною, яка чисельно дорівнює потенціальній енергії тіла одиничної маси в даній точці поля або роботі з переміщення одиничної маси з даної точки поля у нескінченність.

Тоді робота в полі сил тяжіння:

.

Розглянемо зв’язок потенціалу та напруженості гравітаційного поля. Елементарна робота при малому переміщенні буде рівною (рис. 2.24):

, також .

З формули напруженості гравітаційного поля сила .

Тоді: ,

,

де знак “–“ показує, що вектор напруженості поля спрямований протилежно до зростання потенціалу .

Величина називається градієнтом потенціалу і показує зміну потенціалу на одиницю довжини. Тоді:

.