2.5.3. Закон збереження енергії у механіці. Пружний та не пружний удари тіл та частинок

Нехай на систему діють тільки консервативні сили, тоді робота на шляху з стану 1 в стан 2 буде:

або .

Прирівняємо:

,

або:

.

Сума називається повною механічною енергією системи.

Тоді закон збереження повної механічної енергії буде формулюватись таким чином:

повна механічна енергія системи, на яку діють тільки консервативні сили, при її русі з часом не змінюється, а може відбуватися лише перетворення кінетичної енергії в потенціальну:

.

Пружний та непружний удари тіл та частинок.

Закони збереження імпульсу та енергії можуть бути використані для встановлення співвідношень між різними величинами при зіткненні тіл. Розрізняють пружне та непружне зіткнення. Останнє супроводжується зміною внутрішньої енергії через пластичні деформації. У реальних системах зіткнення тіл тією чи іншою мірою є непружними вже хоча б тому, що супроводжуються деяким нагріванням тіл, що стикаються, і збільшенням кінетичної енергії теплового руху молекул.

У фізиці поняття про повністю пружні зіткнення відіграє важливу роль. З такими зіткненнями часто доводиться мати справу у фізиці елементарних частинок. У мікросвіті енергія сприймається і віддається тільки порціями – квантами. Тому є можливими абсолютно пружні зіткнення.

Удар є зіткненням двох або більше тіл, при якому взаємодія триває дуже короткий час. Удар називається центральним, якщо тіла до удару рухаються вздовж прямої, яка проходить через їхні центри мас. Надалі розглянемо тільки центральні абсолютно пружні та абсолютно непружні удари тіл замкненої системи.

1. Абсолютно пружний удар є зіткненням двох тіл, в результаті якого в обох тілах, що взаємодіють, не залишається ніяких деформацій і вся кінетична енергія, яку мали тіла до удару, після зіткнення знову перетворюється в кінетичну енергію.

Запишемо закони збереження імпульсу та енергії для прямого центрального удару, врахувавши, що вектори швидкостей тіл до ( , ) та після удару ( , ) лежать на прямій, яка з’єднує їх центри (рис. 2.21):

;

.

Після деяких математичних перетворень отримаємо таку систему рівнянь для швидкостей тіл після зіткнення:

;

.

Розглянемо декілька частинних випадків.

а) При та , тобто якщо друге тіло не рухалось до зіткнення. Тоді:

; .

Отже, перше тіло після зіткнення зупиниться ( ), а друге буде рухатись з такою ж швидкістю і в тому ж напрямі, в якому рухалось перше тіло ( ).

б) При :

;

.

Тобто, тіла рівної маси „обмінюються” швидкостями.

2. Абсолютно непружний удар є зіткненням двох тіл, в результаті якого тіла об’єднуються та надалі рухаються як єдине ціле (рис. 2.22).

З а законом збереження імпульсу для замкненої системи двох тіл з масами та можна записати:

,

звідки:

.

Проаналізуємо деякі випадки при абсолютно непружному зіткненні:

а) якщо тіла рухаються назустріч один одному, то разом вони будуть рухатись в ту сторону, в яку рухалось тіло, що мало більший імпульс;

б) якщо маси тіл рівні ( ), то:

.

Більш цікавим є перетворення енергії при абсолютно непружному центральному зіткненні. В цьому випадку закон збереження енергії не виконується, тобто внаслідок деформації відбувається „втрата” кінетичної енергії, яка переходить у теплову або інші форми енергії. Таку „втрату” можна визначати за різницею кінетичної енергії системи двох тіл до та після взаємодії:

.

Розглянемо такі випадки за умови, якщо перше тіло є нерухомим ( ):

а) якщо (тобто маса нерухомого тіла є дуже великою), то , що призводить до майже повного перетворення кінетичної енергії тіла при ударі в інші види енергії. Тому, наприклад, для отримання значної деформації ковадло повинно бути набагато масивнішим за молот;

б) якщо , то . Наприклад, при забивання цвяхів у стіну маса молотка повинна бути набагато більшою за масу цвяха, тоді практично вся кінетична енергія витрачається на переміщення цвяха, а не на залишкову деформацію.

Абсолютно непружний удар є прикладом того, як відбувається „втрата” механічної енергії під дією дисипативних сил.