2.3.2. Закон збереження імпульсу. Рух тіл змінної маси

Розглянемо систему матеріальних точок, маси яких , що рухаються зі швидкостями та на які діють зовнішні сили (рис. 2.9).

Запишемо ІІ закон Ньютона в диференціальній формі для кожної МТ системи:

Додамо всі рівняння цієї системи, врахувавши, що за ІІІ законом Ньютона сума всіх внутрішніх сил буде рівною нулю:

;

.

В останньому рівнянні , тобто ця сума є векторною сумою всіх зовнішніх сил, що діють на дану систему МТ.

Якщо , таку систему називають замкненою. Тоді:

.

Похідна від суми дорівнює нулю за умови, що:

або .

Останні рівняння й виражають закон збереження імпульсу (один з фундаментальних законів природи): сумарний імпульс замкненої системи МТ з часом не змінюється.

Рух тіл змінної маси

Рух деяких тіл супроводжується зміною їх маси, наприклад маса ракети зменшується за рахунок витікання газів, що утворюються при згоранні палива.

Застосуємо ІІ закон Ньютона до руху ракети. Якщо в момент часу маса ракети , її швидкість , то через деякий час її маса зменшується на та стане рівною ( ), а швидкість буде ( ). Зміна імпульсу системи за час :

,

де – швидкість витікання газів відносно ракети. Тоді:

;

в останній формулі є малою величиною більшого порядку порівняно з іншими доданками (нею можна знехтувати), отже, після скорочень, маємо:

.

Якщо на систему діють зовнішні сили, то за ІІ законом Ньютона , маємо:

.

Таким чином, ми отримали рівняння руху тіла змінної маси, яке вперше було отримано Мещерським¹:

.

Член:

в останньому рівнянні називають реактивною силою.

Якщо швидкість газів є протилежною швидкості , то ракета прискорюється, а якщо спрямована так само, як і , то ракета гальмує.

Застосуємо рівняння Мещерського до прямолінійного руху ракети, на яку не діють зовнішні сили ( ) та вважаючи, що швидкість газів відносно ракети не змінюється :

.

Звідси: .

Значення сталої інтегрування визначимо з початкових умов. Якщо в початковий момент часу швидкість ракети дорівнює нулю, а її стартова маса , то:

.

Остаточно отримаємо формулу Ціолковського¹:

.

Дане співвідношення показує, що:

1. чим більшою є кінцева маса ракети, тим більшою повинна бути стартова маса ракети ;

2. чим більшою є швидкість витікання газів , тим більшою може бути кінцева маса при даній стартовій масі ракети.

Примітка. Рівняння Мещерського та формула Ціолковського отримані для нерелятивістського руху, тобто коли швидкість ракети та газів малі порівняно зі швидкістю світла у вакуумі.

2.3.3. Динаміка обертального руху Момент сили. Момент інерції. Момент імпульсу. Закон динаміки обертального руху. Закон збереження моменту імпульсу

Розглядаючи кінематику обертального руху АТТ, з’ясували, що кутові величини є однаковими для всіх точок тіла, що обертається. Тому логічним буде ввести деякі динамічні кутові характеристики і за їх допомогою описувати динаміку обертального руху. Очевидно, що вони повинні бути аналогом характеристик поступального руху. Аналогом сили буде момент сили , аналогом маси –момент інерції , аналогом імпульсу – момент імпульсу .

Момент сили відносно точки є векторним добутоком радіус-вектора сили на силу (рис. 2.10):

, .

Вектор моменту сили завжди спрямовується вздовж осі обертання та є перпендикулярним до площини, в якій лежать вектори та (рис. 2. 10). Напрям вектора моменту сили знаходиться за правилом правого гвинта.

Модуль моменту сили знаходиться так:

,

де – плече сили (найкоротша відстань від точки обертання до лінії дії сили).

М омент сили відносно осі є скалярною фізичною величиною, яка дорівнює проекції на вісь моменту сили, визначеного відносно довільної точки О даної осі.

Момент імпульсу МТ відносно точки є векторною фізичною величиною, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора імпульсу на імпульс МТ (рис. 2.11):

, .

Вектор моменту імпульсу спрямований вздовж осі обертання та є перпендикулярним до площини, в якій лежать вектори та (рис. 2.11). Напрям вектора моменту сили знаходиться за правилом правого гвинта.

Модуль моменту імпульсу:

,

де – кут між векторами та (рис. 2.11).

Момент імпульсу відносно осі є скалярною фізичною величиною, яка дорівнює проекції на вісь моменту імпульсу, визначеного відносно довільної точки О даної осі.

Р озглянемо обертальний рух АТТ відносно нерухомої осі Z. Кожна точка АТТ (рис. 2.12) рухається по колу радіуса з деякою швидкістю .

Момент імпульсу кожної МТ відносно осі Z:

, де .

Тоді:

або .

Введемо позначення , – момент інерції МТ відносно осі Z.

Для всього АТТ момент імпульсу:

,

де – момент інерції АТТ відносно нерухомої осі Z.

Момент інерції АТТ відносно нерухомої осі є скалярною фізичною величиною, яка дорівнює алгебраїчні сумі добутків мас всіх елементарних точок АТТ на квадрат їх найкоротших відстаней до осі обертання .

Оскільки всі точки АТТ при обертанні мають однакову кутову швидкість, то момент імпульсу та момент інерції АТТ пов’язані співвідношенням:

.

Якщо тіло є однорідним і має вісь симетрії, то, позначивши через елементарну масу, що міститься в елементарному об’ємі , а через – відстань від цього об’єму до осі обертання, запишемо формулу для обчислення моменту інерції тіла:

,

де – густина речовини, з якої виготовлено тіло.

Наведемо приклад обчислення моменту інерції плоского однорідного диска (циліндра) відносно осі, яка проходить через його центр (рис. 1.13, а). Радіус диска позначимо , товщину – , густина речовини – .

За елементарний об’єм візьмемо об’єм нескінченно тонкого циліндричного шару завтовшки з радіусом (рис. 2.13, а):

,

а елементарна маса, відповідно, дорівнюватиме:

.

Тоді момент інерції диска буде:

.

Тому що маса диска , остаточно маємо: .

Треба зауважити, що суттєвою відмінністю маси від моменту інерції є те, що маса даного тіла одна, а моментів інерції може бути скільки завгодно, бо момент інерції визначається відносно будь-якої осі.

Якщо вісь обертання лежить поза тілом, то для визначення його моменту інерції доцільно скористатись теоремою Штейнера (рис. 2.13, б): момент інерції тіла відносно осі О-О, яка не проходить через його центр мас та є паралельною до осі О^/-О^/, яка проходить через тіло, дорівнює сумі моменту інерції відносно осі О^/-О^/ та добутку маси тіла на квадрат відстані між цими осями:

.