2. Аналитическое исследование теплообмена стенки теплообменника с сублимирующим или плавящимся хладагентом

Д ля определенности, ниже мы будем использовать термин сублимация хладагента, подразумевая при этом, что при плавлении хладагента процесс проходит аналогично.

Расчетная схема установки приведена на рисунке 1.

Для интенсификации теплообмена в капсуле используется механический поджим сублимирующего вещества (1) к поверхности теплообмена (2), который осуществляется, например, при помощи пружины (3) или любым другим способом.

Качественно процесс теплоотдачи в сублимационном охладителе может быть описан следующим образом. За счет теплопритоков от поверхности теплообмена происходит сублимация твердого хладагента, соприкасающегося с этой поверхностью. Образующийся при этом пар вытесняется через зазор между замороженным веществом и теплообменной поверхностью охладителя. Тепловое сопротивление этого зазора является основным фактором, определяющим интенсивность теплоотдачи.

Величина зазора между поверхностью теплообменника и сублимирующим хладагентом зависит от силы давления механического поджима и от расхода пара в зазоре. Расход пара в сублимационном охладителе, в свою очередь, пропорционален тепловой нагрузке аппарата. Очевидно, что чем больше давление поджима, тем меньше будет зазор между твердой фазой и поверхностью теплообмена, и больше общий тепловой поток в аппарате.

С другой стороны, чем больше тепловая нагрузка аппарата, тем больше расход пара в зазоре и больше давление пара под сублимирующим хладагентом. Повышение давления пара в зазоре между хладагентом и теплоотдающей поверхностью отжимает твердый хладагент и приводит к увеличению зазора.

Такая картина теплообмена между плавящимся веществом и теплоотдающей поверхностью качественно подтверждается экспериментами. И, в частности, она позволяет объяснить тот экспериментально установленный факт, что концентричные ребра на поверхности теплообмена не только не увеличивает теплоотдачу от этой поверхности, а наоборот, уменьшает ее. Объяснение этого феномена заключается в том, что концентричные ребра затрудняют отток пара на поверхности теплообмена, и это приводит к увеличению зазора между поверхностью и плавящимся или сублимирующим веществом и увеличению теплового сопротивления этого зазора.

Для построения математической модели процесса теплоотдачи стенки к плавящемуся веществу примем следующие допущения:

- все процессы и потоки вещества и энергии в аппарате симметричны относительно его оси;

- температура сублимации твердого хладагента во всех точках на границе раздела фаз одинакова;

- течение пара в зазоре между теплоотдающей поверхностью и сублимирующим веществом ламинарное;

- конвективный перенос тепла в зазоре отсутствует.

Математическую модель будем строить для установившегося режима теплоотдачи, при котором остаются неизменными: распределение температур на поверхности теплообмена, давление поджима твердого

хладагента и тепловая нагрузка аппарата. Постоянство температурного поля на теплоотдающей поверхности означает, что при установившемся режиме форма границы раздела фаз остается неизменной, несмотря на то, что блок твердого хладагента непрерывно движется в сторону теплоотдающей поверхности аппарата. Иными словами, граница раздела фаз движется с постоянной скоростью относительно твердого хладагента и неподвижна относительно поверхности теплообмена.

Так как скорость перемещения фронта сублимации относительно твердого хладагента определяется плотностью теплового потока в каждой точке этого фронта, то эта скорость может быть найдена из уравнения теплового баланса на границе раздела фаз:

, (1)

где V - вектор скорости перемещения точки на поверхности раздела фаз;

q - вектор плотности теплового потока в этой точке;

λ - теплопроводность пара рабочего вещества;

Т - текущая температура пара;

σ_v - объемная теплота сублимации вещества,

где σ - удельная теплота сублимации вещества;

ρ - плотность твердой фазы вещества.

Отсюда следует очень важный вывод. Так как для данного вещества объемную теплоту плавления можно считать постоянной, то в установившемся режиме плотность теплового потока на теплоотдающей поверхности аппарата во всех ее точках будет одинакова.

В силу ранее принятого допущения о постоянстве температуры плавления вещества на границе раздела фаз, эта граница раздела фаз совпадает с изотермой. Поэтому векторы плотности теплового потока и скорости перемещения любой точки фронта плавления направлены по нормали к поверхности раздела фаз.

Так как толщина зазора между твердой фазой и рабочей поверхностью аппарата на несколько порядков меньше диаметра аппарата, то можно считать, что поверхность раздела фаз параллельна теплообменной поверхности аппарата и, следовательно, вектор теплового потока направлен по нормали к теплообменной поверхности аппарата.

Отсюда,

, (2)

где ΔT- перепад температур между теплообменной поверхностью аппарата и границей раздела фаз;

δ - величина зазора в рассматриваемом сечении аппарата.

Иными словами, на теплообменной поверхности аппарата плотность теплового потока в установившемся режиме можно считать постоянной вне зависимости от того каким образом подводится тепло к теплообменной поверхности аппарата и от формы этой поверхности.

Физический смысл этого утверждения таков: если в какой-либо точке рабочей поверхности плотность теплового потока оказалась выше, чем в соседних точках, то в этом месте сублимация твердой фазы вещества интенсифицируется, что, в свою очередь, приводит к увеличению толщины слоя пара между твердой фазой и теплоотдающей поверхностью аппарата. В результате этого, плотность теплового потока в этой точке будет уменьшаться до тех пор, пока не станет равной плотности теплового потока в соседних точках. При этом скорость продвижения фронта сублимации относительно сублимирующего вещества во всех точках этого фронта становится постоянной. Величина зазора между сублимирующим веществом и теплоотдающей поверхностью также стабилизируется. И, наоборот, при уменьшении плотности теплового потока в какой-либо точке теплоотдающей поверхности происходит уменьшение зазора в этом месте.

Как следует из последней формулы, отношение перепада температур к величине зазора во всех точках теплоотдающей поверхности остается неизменным:

. (3)

Рассмотрим элементарный кольцевой участок зазора между твердой фазой и рабочей поверхностью капсулы. Высота этого участка равна величине зазора δ, расстояние до оси капсулы равно R и ширина элементарного участка равна dR. В этом случае, приращение расхода жидкости, протекающей через рассматриваемый кольцевой зазор, будет равно:

. (4)

Тогда абсолютная величина расхода жидкости в кольцевом сечении радиусом R будет равна:

. (5)

Так как мы рассматриваем случай q=const, то эту постоянную плотность теплового потока можно вынести за знак интеграла, наряду с другими константами:

. (6)

Зная расход жидкости в каждом круговом сечении капсулы, можно найти падение давления на рассматриваемом участке зазора. Так как абсолютная величина зазора в имеющих практическое значение случаях относительно невелика, то смело можно считать течение в этом зазоре ламинарным и воспользоваться известной формулой для определения потери давления в щели бесконечной ширины:

; (7)

где g_ж - расход пара на единицу ширины щели,

.

ν - кинематическая вязкость пара.

Следовательно,

. (8)

Сила, с которой на твердое вещество действует механический поджим, уравновешивается давлением пара, образовавшимся в результате сублимации твердого вещества. В рассматриваемом случае, эти сила может быть сравнительно легко определена:

;

;

;

Как видно из полученной формулы, для определения силы механического поджима необходимо найти зависимость величины зазора от радиуса. Для этого, в начале найдем распределение температур на рабочей поверхности капсулы, после чего по формуле:

, (10)

найдем искомую зависимость толщины зазора от радиуса.

Для определения распределения температур на рабочей поверхности в простейшем случае, когда днище капсулы выполнено в форме диска постоянной толщины, введем цилиндрическую систему координат таким образом, чтобы начало координат находилось на пересечении оси капсулы с рабочей поверхностью, а ось z совпадала с осью симметрии капсулы. В этом случае стационарная теплопроводность в днище капсулы описывается уравнением Лапласа, которое в цилиндрической системе координат имеет вид:

.

Рассмотрим теперь наиболее простой и достаточно распространенный случай теплового нагружения капсулы, когда тепло подводится равномерно по всей поверхности днища.

Граничные условия при этом записываются в виде:

для Z=0 и Z=δ_д, и ,

где δ_д - толщина днища;

λ_д - теплопроводность материала днища.

Нетрудно убедиться, что решением уравнения Лапласса в этом простейшем случае, является функция:

, (11)

где С - соответствующим образом подобранная константа (константа интегрирования).

Отсюда следует, что в этом простейшем случае, температура на рабочей поверхности капсулы будет одинакова во всех точках этой поверхности. Тогда с учетом принятого допущения о стабильности температуры плавления вещества, перепад температур между рабочей поверхностью и границей раздела фаз будет везде одинаков. Следовательно, толщина зазора в этом случае будет везде одинакова, и может быть найдена из уравнения (10).

Так как величина зазора в рассматриваемом случае является константой, то ее можно вынести за знак интеграла в уравнении (9). С учетом этого, можно записать:

. (12)

С учетом того, что

, (13)

где Qo - общая тепловая нагрузка капсулы, имеем:

. (14)

Отсюда, подставив вместо δ его значение из уравнения (10), находим зависимость тепловой нагрузки капсулы от силы механического поджима и перепада температур на рабочей поверхности для заданного вещества:

. (15)