3. Задачі на знаходження елементів фігур в просторі

95.* Відрізок АВ перетинає площину. Через кінець АВ і його середину М проведемо паралельні прямі, які перетинають площину в точках А₁. В₁ і М₁. Знайти довжину відрізка ММ₁ , АА₁ =3см, ВВ₁ =7см.

Нехай ММ₁ перетинає ВА₁ в точці D. Оскільки М – середина АВ, то МD середня лінія і - середня лінія Тому см, см.Тоді (см).

96.* Два прямокутні рівнобедрені трикутники мають спільну гіпотенузу АВ, рівну см. Площини трикутників взаємно перпендикулярні. Знайти відстань між вершинами прямих кутів.

Дано: Знайти СС₁.

Проведемо . Тоді . Отже . За умовою рівнобедрений і прямокутний Тому . Оскільки ВD=DА, то D – середина гіпотенузи трикутника АВС і СD=ВD=2 . З .

97.Трапеція АВСD лежить в площині а. Основа ВС=12. Точка М не належить площині а, КМ=3ВК. Побудувати точку Е – точку перетину площини АКD з відрізком МС і знайти довжину КЕ.

В площині (МВС) через точку К проведено пряму Ця пряма перетне відрізок МС в шуканій точці Е. Дійсно, оскільки , то Тому пряма l, а отже і точка Е лежить в площині (АКD). Таким чином Е є точкою перетину площини (АКD) з відрізком МС. Нехай ВК=х. Тоді МК=3х, МВ=МК+КВ=4х. З подібності трикутників МКЕ і МВС матимемо: .

Задачі для самостійного розв’язання

98. Кут між мимобіжними прямими дорівнює . Вказати неправильне значення кута . А) =30. Б) =90. В) =0. Г) =45. Д) =20.

99.* Чотири точки А, В, С, D, не лежать в одній площині. Точки М і N – середини відрізка АВ і ВО, а точки Р і К – середини відрізків АD і DС. Порівняти довжини відрізків М N і РК.

100. Точки А, В, С, D, не лежать в одній площині. Точки М, N,P,Q – відповідно середини відрізків ВD, СD, АС, АВ, АD=12. ВС=14. Знайти периметр чотирикутника MNPQ.

101.* Площа паралельна стороні АВ трикутника АВС, перетинає сторону АС у точці А₁ , а сторону ВС у точці В₁ . Знайти довжину відрізку А₁ В₁ , якщо АВ=24см, АА₁ : А₁ С=5:3.

4. Задачі на побудову в просторі

102. На малюнку дано паралельну проекцію рівнобедреного трикутника АВС, у якого АС=ВС. Відрізок ОМ перпендикулярний до площини АВС. Як побудувати проекцію перпендикуляра, проведеного з точки О до прямої АВ, якщо точка М належить ВС? Побудову обґрунтувати.

При паралельному проектувані зберігаються паралельність прямих і відношення паралельних відрізків. Побудуємо точку К – середину АВ. В відрізок СК є медіаною, висотою і бісектрисою. Тому . Побудуємо , де N – точка сторони АВ. Оскільки , то . За теоремою про три перпендикуляри відрізок ОN є перпендикуляром до АВ. Отже, МN є шуканою проекцією перпендикуляра, проведеного з точки О до прямої АВ.

103. На малюнку дано паралельну проекцію ромба, АВС D, МК перпендикуляр до площини АВС, точка К належить стороні ВС. Як побудувати проекцію перпендикуляра, проведеного з точки М до прямої ВD? Побудову обґрунтуйте.

Проведемо діагоналі ромба і відрізок , де N – точка діагоналі ВD. Тоді КN – шукана проекція перпендикуляра МN. Обґрунтуйте таке ж, як в задачі 102.

Задачі для самостійного розв’язання

104. На малюнку дано паралельну проекцію квадрата АВСD, KE перпендикуляр до площини АВС, СЕ=ЕD. Як побудувати проекцію перпендикуляра, проведеного з точки К до прямої ВD? Побудову обґрунтуйте.

105. На малюнку дано паралельну проекцію ромба АВСD, МК перпендикуляр до площини АВС, точка К належить стороні ВС. Як побудувати проекцію перпендикуляра, проведеного з точки М до прямої АС? Побудову обґрунтуйте.

106. На малюнку дано паралельну проекцію прямокутного трикутника АВС, пряма РК перпендикуляр до площини АВС, точка К належить площині АВС. Як побудувати проекцію перпендикуляра, проведеного з точки Р до прямої ВС? Побудову обґрунтуйте.