2. Перепендикуляр і похила

56. З даної точки до площини проведено перпендикуляр і похилу. Довжина перпендикуляра дорівнює половині довжини похилої. Знайти кут між похилою і перпендикуляри площиною. А) 20. Б) 60. В) 30. Г) 45. Д) 90.

Нехай АВ – перпендикуляр до площини а, АС – похила. Оскільки АС=2АВ, то . Отже, .

57.* З точки до площини проведено дві похилі довжиною 10 і 17 см. Різниця проекцій цих похилих дорівнює 9 см. Знайти проекції похилих.

Дано: SO – перпендикуляр до а; - похилі . Знайти АО, ОВ.

Нехай ОВ=х. Тоді АО=х+9. З , З . Отже, ; х=6. ОВ=6см, АО=15см.

58.* З точки, віддаленої від площини на 2 см, проведено дві похилі , які утворюють з площиною кути 45 і 30 градусів, а між собою – прямий кут. Знайти відстань між основами похилих.

Дано: АВ – перпендикуляр до а; АС, А – похилі; АВ=2см; . Знайти С.

З . З . З .

59. Відстань від точки М до всіх сторін квадрата дорівнює 13 см. Знайти відстань від точки М до площини квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює 10см. А) 8см. Б) 11см. В) 12см. Г) 14см. Д) 15см.

Нехай – перпендикуляри відповідно до сторін АВ, ВС, СD, DА. За теоремою про три перпендикуляри . За умовою , звідки . Отже, точка 0 є центром вписаного в квадрат кола,тобто точкою претину його діагоналей. Тоді . З .

60. З центра кола проведено перпендикуляр до його площини. Знайти довжину перпендикуляра, якщо відстань від його кінця до точок кола 10см, а діаметр кола 16см. А) 2см, Б) 6см, В) 5см, Г) 4см, Д) 7см.

SА=10см, АВ=16см. Тоді АО=8см. З .

61. З вершини А квадрата АВСD до його площини проведено перпендикуляр АК довжиною 6см. Знайти відстань від точки К до вершини С квадрата, якщо його сторна дорівнює .

А) 9см. Б) 10см. В) 10,5см. Г) 12см. Д) 14см.

Оскільки , то . Тому прямокутний. Отримуємо: .

62.* З вершини рівностороннього трикутника АВС до його площі проведено перпендикуляр АD. Знайти відстань від точки D до сторони ВС трикутника, якщо АD=1см, ВС=8см.

Дано: .Знайти DК.

За теоремою про три перпендикуляри. З . З .

63.* Відрізки АВ, АС, і АD попарно перпендикулярні. Точка М – середина відрізка ВС. Знайти відрізок DМ, якщо АВ=8см, АD=12см.

1-й спосіб. Оскільки і , то . Тоді відрізок АD буде перпендикулярний довільній прямій, яка лежить в площині (АВС), зокрема . Тому – прямокутний. Середина М відрізка ВС є центром описаного навколо прямокутного кола. Тому МА=МВ=МС=ВС/2. МА=5см. З .

2-й спосіб. Введемо систему координат з початком в точці А і осями АВ, АС, АD. Тоді В (6;0;0), С(0;8;0), D(0;0;12). М – середина відрізка ВС. Тому . М(3;4;0). Знайдемо відрізка DМ за координатами точок: .

64. Кінці відрізка, який не перетинає площину, віддалені від неї на 3 і 5см. Знайти відстань від середини відрізка до площини .

А) 2см. Б) 4см. В) 6см. Г) 8см. Д)12см.

Нехай О – середина відрізка АВ, АА, ВВ, ОО – перпендикуляри до площини а. Тоді АВВА – прямокутна трапеція, в якій ОО – середня лінія. ОО=(АА+ВВ)/2=4см.

65.* Кінці даного відрізка АВ, який не перетинає площину, віддалені від неї на 2 і 8 см. Як віддалена від площини точка С, що ділить відрізок увід ношені АС:СВ=1:2?

Дано: АС:СВ=1:2; АА, ВВ, СС – перпендикуляри до а; АА=2см; ВВ=8см. Знайти СС.

Проведемо пряму . Тоді – прямокутник. Тому. ВК=8-2=6(см). Оскільки , то трикутники АКВ і АРС подібні. Тому ; СР=2(см).

66.* Через вершину прямого кутаС прямокутного трикутника АВС проведено площину, паралельно гіпотенузі, на відстані 1см від неї. Проекції катетів на цю площину дорівнюють 3 і 5 см. Знайти гіпотенузу трикутника АВС.

Дано: . Знайти АВ.

67.* Відрізок АВ перетинає площину. З точок А і В опущено на площину перпендикуляри довжиною 5 і 3см. Відстань між їх основами дорівнює 6см. Знайти довжину відрізка АВ.

Дано: ; АВ перетинає . Знайти АВ.

Через точку В₁ проведемо пряму паралельну ВА. Нехай D – точка її перетину з АА₁. Тоді ВВ₁DА – паралелограм. Отже, АD =ВВ₁ =3см АВ=DВ₁. А₁D= А₁А+АD=5+3=8(см). З . АВ= DВ ₁=10см.

68. Відстань від точки до двох перпендикулярних площин . Через задану точку М проведемо площину, яка перетинає площини по перпендикулярних прямих і с. Нехай прямі і с перетинаються в точці А. Так як , то . Тому довжина відрізка МА є відстанню від точки М до прямої а. Побудуємо і . Відрізки лежать в площині. В прямокутнику ММ ₁АМ ₂ . Тому ММ ₁АМ ₂ – квадрат і Ма – його діагональ. Звідки .

Задачі для самостійного розв’язання

69. З даної точки до площини проведено перпендикуляр і похилу. Довжина перпендикуляра дорівнює довжині проекції похилої. Знайти кут між перпендикуляром і похилою.

70. Відстань від точки до площини проведено перпендикуляр і похилу. Довжина перпендикуляра дорівнює довжині проекції похилої. Знайти кут між перпендикуляром і похилою.

71. З точки А до площини проведені перпендикуляр і похила. Кут між похилою і площиною дорівнює 60. Довжина похилої 20см. Чому дорівнює довжина перпендикуляра?

72. З точки М до площини проведені перпендикуляр і похила. Кут між перпендикуляром і похилою дорівнює 60, довжина перпендикуляра дорівнює 20см. Чому дорівнює довжина похилої?

73. З точки В до площини проведені перпендикуляр і похила. Кут між похилою і площиною дорівнює 45.Довжина похилої дорівнює 20см. Чому дорівнює довжина проекції похилої?

74. З точки N до площини проведені перпендикуляр і похила. Кут між перпендикуляром і похилою дорівнює 30, довжина перпендикуляра дорівнює 20см. Чому дорівнює довжина проекції похилої?

75. З точки віддаленої від площини на , проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути 45, а між собою – кут 60. Знайти відстань між основами похилих.

76. На малюнку АВ і АС – похилі до площини , ОА – перпендикуляр до , АО=1,5, . Визначити відстань між основами похилих(задача не визначена).

77. Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорівнює 5см. Знайти відстань від точки М до площини квадрата, якщо діагональ квадрата дорівнює 6см.

78.* Точка М знаходиться на відстані 4см від вершин рівностороннього трикутника із стороною 6см. Знайти відстань від точки М до площини трикутника.

80. Точка Р віддалена від усіх сторін квадрата на відстань , а від площини квадрата – на відстань 1. Чому дорівнює сторона квадрата?

81. . Точка Р віддалена від усіх сторін квадрата на відстань 2. Сторона квадрата дорівнює. Чому дорівнює відстань від точки Р до площини квадрата?

82. З центра кола проведено перпендикуляр до його площини. Знайти діаметр кола, якщо довжина перпендикуляра 4см, а відстань від його кінця до точок кола 5см.

83.* З центра кола проведено перпендикуляр до його площини. Знайти довжину кола, якщо довжина перпендикуляра 6см, а відстань від його кінця, що не лежить у площині, до точок кола 10см.

84. Відрізок АМ перпендикулярний до площини прямокутника АВСD. Який відрізок має найбільшу довжину?

А) МА. Б) МD . В) МВ. Г) МС. Д) АD.

85. З вершини А квадрата АВСD до його площини проведено перпендикуляр АК. Знайти довжину цього перпендикуляра, якщо відстань від точки до вершини С квадрата дорівнює 10 см, а сторона квадрата см .

На малюнку фігура АВСD – квадрат, МВ перпендикуляр до площини АВС. Визначити відстань від точки М до прямої АС, якщо МВ= , АВ=2.

87.* З вершини прямого кута С рівнобедреного прямокутного трикутника АВС проведено перпендикуляр СD до площини трикутника. Знайти відстань від точки D до гіпотенузи трикутника, якщо СD=8см, АВ=12см.

88.* З вершини гострого кута прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С проведено перпендикуляр АD до площини трикутника. Знайти відстані від точки D до вершини В і С, якщо АС=4см, ВС=12см, АD=3см.

89. На малюнку , АС=6см, ВС=8см, АМ=МВ, СК- перпендикуляр до площини АВС, СК=12см. Визначити КМ.

90. Трикутник АВС – правильний, АВ= , СD – перпендикуляр до площини АВС, СD=16. Визначити DМ, де М – середина відрізка АВ.

91. Трикутник АВС – правильний, КО – перпендикуляр до площини АВС, точка О – центр, вписаного в трикутник кола. Визначити КВ, якщо АВ= , ОК=12.

92. Один кінець відрізка, який не перетинає площину, віддалений від неї на 4см, а його середина – на 6см. Знайти відстань від другого кінця відрізка до площини.

93.* Через кінець А відрізка АВ проведено площину. Через кінець В і точку С цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають площину в точках В₁ і С₁. Знайти довжину відрізка АВ, якщо ВВ₁=6см, АС:СС₁=2:3.

94.* З точок А і В, які лежать у двох перпендикулярних площинах, опущено перпендикуляри АС і ВС на пряму перетину площин. Знайти довжину відрізка АВ, якщо АС=3см, ВD=4см, СD=12см.