2.4 Изоэнтропическое (адиабатное обратимое) течение газа в соплах

2.4.1 Выбор типа сопла и построение его профиля

При выборе конструкции сопла для технологического агрегата необходимо руководствоваться значением полного перепада давления . Давление газа в выходном сечении согласно заданию должно быть равно давлению в окружающей среде , т.е. реализуется расчетный режим истечения и степень нерасчетности . При условиям расчетного истечения соответствует конструкция сопла Лаваля, в противном случае ( ) – сужающееся (конфузорное) сопло или цилиндрическое.

2.4.2 Расчет параметров течения и основных геометрических размеров сопла

При адиабатном течении в соплах скорость течения газа велика и может быть выше скорости звука. Поэтому при таких больших скоростях (и адиабатном течении) теплообмен с окружающей средой отсутствует и, следовательно, не происходит потерь энергии в виде тепла в окружающую среду.

В этом случае при написании уравнения энергии (уравнения Бернулли) особо нет нужды учитывать работу сил трения, т.к. она сводится к преобразованию механической работы сил трения в тепловую энергию, а следовательно, не влечет к изменению содержания энергии в выделенном объеме газа.

Поэтому уравнение Бернулли можно представить как

; (3.1)

или

,

где – показатель адиабаты;

с_р – изобарная теплоемкость, Дж/(кгК);

с_v – изохорная теплоемкость, Дж/(кгК);

Р – абсолютное давление, Па;

ρ – плотность газа, кг/м³;

w – скорость газа, м/с;

i – энтальпия газа, Дж/кг;

Р₀, ρ₀, Т₀, i₀ – параметры торможения, т.е. параметры газа в точке, где скорость его адиабатически обращается в нуль;

– удельная потенциальная энергия давления, Дж/кг;

– удельная кинетическая энергия, Дж/кг;.

– удельная внутренняя энергия, Дж/кг.

– удельная тепловая энергия (энтальпия) потока, Дж/кг;

– удельная полная энергия (полная энтальпия) потока или энтальпия торможения, Дж/кг

Следует отметить, что условие (3.1) соблюдается как вдоль оси потока, так и в любом поперечном сечении (живом) потока.

Уравнение Бернулли для двух сечений адиабатического потока сжимаемой вязкой жидкости обычно записывают в виде:

.

Наряду с уравнениями Бернулли, которые записываются в разных формах, используют и уравнение адиабаты

. (3.2)

Разные формы уравнения Бернулли обусловлены тем, что течение газа характеризуется многими параметрами и для каждой точки выполняется уравнение состояния . С учетом последнего и того, что скорость звука в данной точке газа определяется по формуле:

, (3.3)

уравнение Бернулли можно представить так:

или , (3.4)

где с₀ – скорость звука в покоящемся газе, м/с.

Из последних уравнений следует:

1. В потоке газа скорость звука изменяется вместе с его скоростью. При этом если скорость потока растет, то скорость звука в нем уменьшается.

2. В потоке газа могут существовать точки, в которых скорость звука равна скорости потока. Такие точки называются критическими. Параметры газа в этих точках тоже называются критическими.

Между критическими параметрами и параметрами торможения легко установить связь.

Так как критическая скорость выражается по формуле:

. (3.5)

Отсюда

; (3.6)

; (3.7)

. (3.8)

Так как при адиабатном течении температура торможения одинакова для всего потока, то и критическая скорость одинакова для всего потока. Поэтому приведенную скорость (коэффициент скорости)  в этом случае использовать удобней.

Легко убедиться, что в критических точках М  1 и λ  1 и при M < 1 λ > M, а при M > 1 λ < M.

Вероятно, уравнение Бернулли можно привести к безразмерному виду и представить так

(3.9)

или

, (3.10) , (3.11)

, (3.12)

а уравнение неразрывности – к виду

, (3.13)

где τ, π, ε и q – основные газодинамические функции, для которых имеются таблицы ГДФ [11-13], облегчающие расчеты.

Таким образом, при отсутствии внешней механической работы и теплообмена через стенки выполняется условие постоянства температуры торможения по пути потока. Уместно заметить, что при изоляции газа от окружающей среды при помощи стенок каналов трение влияет не на температуру торможения Т₀, а на термодинамическую температуру Т, повышая ее за счет уменьшения кинетической энергии, что соответствует закону сохранения энергии.

Полное давление торможения будет оставаться постоянным при отсутствии внутреннего трения и постоянства энтропии. В сугубо теоретическом, изоэнтропическом процессе (dS  0)

dP₀  0

и давление торможения

.

В адиабатических и изоэнтропических течениях температура торможения Т₀ служит для оценки общей энергии всех видов движений, а давление торможения Р₀ – для оценки механического движения.

Ниже приводится пример типового конструктивного расчета сопел Лаваля (рис.2.2) для невязкого (адиабатного обратимого) течения аналитическим способом и с помощью таблиц газодинамических функций (ТГФ).

Пример расчёта сопла Лаваля в предположении изоэнтропного процесса течения.

Рисунок 2.2 – Схема сопла Лаваля с характерными термогазодинамическими параметрами

Давление газа (кислород), измеренное манометром на входе в конические сопла Лаваля, число которых z  4, составило 1,48 МПа, температура в потоке 303 К, скорость 54,3 м/с при массовом расходе 9,4045 кг/с. Определить параметры течения газа (Р, Т, , w, М, , I, I_изб, F, d) в критическом и выходном сечениях, размеры этих сечений и длину диффузора конического сопла, если угол наклона образующей диффузора сопла   6^о. Давление в атмосфере принять равным 0,102 МПа. Показатель адиабаты газа k  1,4.

Решение.

Для удобства расчётов параметры на входе в сопло будем обозначать индексом 1, в критическом сечении индексом «кр», на выходе индексом 2:

Режим течения считается расчётным, если давление в выходном сечении и в окружающей среде равны: Р₂  Р_окр.ср.

Расчёты сопла выполним двумя способами.

I. Аналитический способ расчёта.

Предварительно определяем параметры заторможенного потока Т₀, Р₀, ₀, критическую скорость звука а_кр, затем плотность газа ₁ и местную скорость звука а₁ в сечении 1:

Проверяем условие :

,

т.е. перепад давлений сверхкритический, что позволяет получать сверхзвуковые скорости истечения из сопла Лаваля. При докритическом перепаде сверхзвуковое истечение невозможно.

Параметры (температура, скорость, плотность и давление) в критическом сечении:

;

Проверка:

Площадь, диаметр (одного из 4-х сопел) и полный импульс в критическом сечении:

Параметры (температура и плотность) в выходном сечении:

Скорость, площадь, диаметр сопла, полный и избыточный импульс в этом сечении:

где приведенная скорость и число Маха:

Длина расширяющейся части сопла составляет:

II. Расчёт с помощью таблиц газодинамических функций [13].

Полное давление и плотность на входе в сопло рассчитываем, предварительно определив по в ТГФ [13] для k  1,4 приведенное давление и приведенную плотность на входе в сопло, откуда

МПа;

Параметры в критическом сечении находим в ТГФ при М_кр  _кр  1 для k  1,4:

Параметры в выходном сечении (температуру и плотность газа) рассчитываем, предварительно определив газодинамическую функцию приведенного давления , по которой находим в ТГФ функции (₂) и (₂):

затем соответственно приведенную скорость, число Маха, функции приведенного расхода и приведенного импульса:

.

Тогда величина скорости на выходе из сопла составит

,

площадь и диаметр выходного сечения, полный и избыточный импульс:

.